Страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

124. Запишите во второй строке таблицы коэффициенты одночленов стандартного вида из первой строки:

Для решения задачи необходимо определить коэффициент каждого одночлена, представленного в первой строке таблицы. Коэффициент одночлена стандартного вида — это его числовой множитель.

Для первых двух одночленов $2a$ и $-3ab$ коэффициенты (2 и -3) уже даны в качестве примера. Найдем коэффициенты для остальных одночленов.

$1abc$

В одночлене $1abc$ числовой множитель равен 1. Обычно, когда коэффициент равен 1, его опускают и записывают просто $abc$.

Ответ: 1

$abc$

В одночлене $abc$ числовой множитель явно не указан. В таких случаях по определению коэффициент считается равным 1, так как $abc = 1 \cdot abc$.

Ответ: 1

$-1a$

В одночлене $-1a$ числовой множитель равен -1. Обычно этот одночлен записывают в виде $-a$.

Ответ: -1

$-a$

В одночлене $-a$ перед буквенной частью стоит знак минус, а числовой множитель явно не указан. Это означает, что коэффициент равен -1, так как $-a = -1 \cdot a$.

Ответ: -1

$1,3bc^2$

В одночлене $1,3bc^2$ числовым множителем является десятичная дробь 1,3.

Ответ: 1,3

$-5a^3bc^2$

В одночлене $-5a^3bc^2$ числовой множитель — это целое отрицательное число -5.

Ответ: -5

$13b^2c^5$

В одночлене $13b^2c^5$ числовой множитель — это целое положительное число 13.

Ответ: 13

$-8a^2c^9$

В одночлене $-8a^2c^9$ числовой множитель — это целое отрицательное число -8.

Ответ: -8

Итоговая заполненная таблица:

125. Зачеркните в таблице пять одночленов, не имеющих стандартного вида:

$2a$ $ab^7$ $abc3$ $abc$ $-1a$ $12a^3b$ $1,2bbc^2$ $3a^9bc^3$ $13bc^4$ $2b^2c^4$

$a2$ $-a^6b$ $4abc$ $7abc$ $-aa$ $-13ac^3$ $1,4bc^2$ $-a^3b^3c^3$ $-13c^5b^2$ $-4a^2c$

Стандартный вид одночлена — это его запись в виде произведения числового множителя (коэффициента), который стоит на первом месте, и степеней различных переменных. При этом каждая переменная в записи одночлена стандартного вида должна встречаться только один раз. Задача — найти в таблице пять одночленов, не соответствующих этому правилу.

Проанализируем одночлены в таблице и выделим те, что не приведены к стандартному виду:

abc3: данный одночлен не в стандартном виде, так как числовой множитель `3` должен стоять на первом месте. Стандартный вид этого одночлена: $3abc$.

-1a: данный одночлен записан не в стандартной форме. По соглашению, коэффициент, равный `-1`, не пишется, а заменяется знаком «минус» перед переменной. Стандартный вид: $-a$.

1,2bbc²: данный одночлен не в стандартном виде, так как переменная `b` повторяется. Для приведения к стандартному виду необходимо перемножить одинаковые переменные: $b \cdot b = b^2$. Стандартный вид: $1,2b^2c^2$.

a2: данный одночлен не в стандартном виде, поскольку его коэффициент `2` стоит после переменной, а не перед ней. Стандартный вид: $2a$.

-aa: данный одночлен не в стандартном виде, так как переменная `a` в нем повторяется. Произведение $a \cdot a$ следует записать в виде степени $a^2$. Стандартный вид: $-a^2$.

Таким образом, мы нашли пять одночленов, не имеющих стандартного вида. Все остальные одночлены в таблице приведены к стандартному виду.

Ответ: Пять одночленов, не имеющих стандартного вида, которые нужно зачеркнуть: $abc3$, $-1a$, $1,2bbc^2$, $a2$, $-aa$.

126. Запишите одночлен в стандартном виде:

а) $a^2a^3 = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

б) $-2ba^3 = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

в) $a8c^4b^3 = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

г) $-7a^5ab^2b = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

д) $b^54a^7b = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

е) $-3a^3b^2a^2b^4 = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

а) Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо перемножить все входящие в него числовые и буквенные множители. Для степеней с одинаковым основанием используется правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
В данном случае $a^2 a^3 = a^{2+3} = a^5$.
Ответ: $a^5$

б) Стандартный вид одночлена предполагает, что числовой множитель (коэффициент) стоит на первом месте, а за ним следуют переменные в алфавитном порядке.
Исходный одночлен: $-2ba^3$.
Коэффициент: $-2$.
Переменные в алфавитном порядке: $a^3$, $b$.
Стандартный вид: $-2a^3b$.
Ответ: $-2a^3b$

в) Приводим одночлен $a8c^4b^3$ к стандартному виду. Сначала записываем числовой коэффициент, затем переменные в алфавитном порядке.
Коэффициент: $8$.
Переменные в алфавитном порядке: $a$, $b^3$, $c^4$.
Стандартный вид: $8ab^3c^4$.
Ответ: $8ab^3c^4$

г) Для приведения одночлена $-7a^5 a b^2 b$ к стандартному виду, сначала сгруппируем и перемножим степени с одинаковыми основаниями.
Коэффициент: $-7$.
Для переменной $a$: $a^5 \cdot a = a^{5+1} = a^6$.
Для переменной $b$: $b^2 \cdot b = b^{2+1} = b^3$.
Собираем одночлен, располагая переменные в алфавитном порядке: $-7a^6b^3$.
Ответ: $-7a^6b^3$

д) Приводим одночлен $b^5 4 a^7 b$ к стандартному виду. Выносим коэффициент вперёд и перемножаем степени с одинаковыми основаниями.
Коэффициент: $4$.
Для переменной $b$: $b^5 \cdot b = b^{5+1} = b^6$.
Записываем переменные в алфавитном порядке ($a$, затем $b$): $4a^7b^6$.
Ответ: $4a^7b^6$

е) Приводим одночлен $-3a^3 b^2 a^2 b^4$ к стандартному виду.
Коэффициент: $-3$.
Перемножаем степени с основанием $a$: $a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$.
Перемножаем степени с основанием $b$: $b^2 \cdot b^4 = b^{2+4} = b^6$.
Записываем результат в стандартном виде: $-3a^5b^6$.
Ответ: $-3a^5b^6$

307. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 2x - 3 = 3y - 4, \\ 3x - 2 = 2y - 6; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x + 5 = 2,5y + 2, \\ 3x + 10 = 5y + 3; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 3,2x - 2,1y = 11, \\ 2,4x + 2,1y = 45; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 2,9x + 5,1y = -8, \\ 3,7x + 1,3y = -5. \end{cases} $

а) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x - 3 = 3y - 4 \\ 3x - 2 = 2y - 6 \end{cases}$
Сначала приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.
Первое уравнение: $2x - 3y = -4 + 3 \implies 2x - 3y = -1$.
Второе уравнение: $3x - 2y = -6 + 2 \implies 3x - 2y = -4$.
Получаем систему:
$\begin{cases} 2x - 3y = -1 \\ 3x - 2y = -4 \end{cases}$
Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$\begin{cases} 3 \cdot (2x - 3y) = 3 \cdot (-1) \\ -2 \cdot (3x - 2y) = -2 \cdot (-4) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x - 9y = -3 \\ -6x + 4y = 8 \end{cases}$
Теперь сложим два уравнения системы:
$(6x - 9y) + (-6x + 4y) = -3 + 8$
$-5y = 5$
$y = -1$
Подставим найденное значение $y = -1$ в уравнение $2x - 3y = -1$:
$2x - 3(-1) = -1$
$2x + 3 = -1$
$2x = -4$
$x = -2$
Ответ: $x = -2, y = -1$.

б) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x + 5 = 2,5y + 2 \\ 3x + 10 = 5y + 3 \end{cases}$
Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.
Первое уравнение: $2x - 2,5y = 2 - 5 \implies 2x - 2,5y = -3$.
Второе уравнение: $3x - 5y = 3 - 10 \implies 3x - 5y = -7$.
Получаем систему:
$\begin{cases} 2x - 2,5y = -3 \\ 3x - 5y = -7 \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$2 \cdot (2x - 2,5y) = 2 \cdot (-3) \implies 4x - 5y = -6$.
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases} 4x - 5y = -6 \\ 3x - 5y = -7 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(4x - 5y) - (3x - 5y) = -6 - (-7)$
$4x - 3x = 1$
$x = 1$
Подставим $x = 1$ во второе уравнение $3x - 5y = -7$:
$3(1) - 5y = -7$
$3 - 5y = -7$
$-5y = -10$
$y = 2$
Ответ: $x = 1, y = 2$.

в) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3,2x - 2,1y = 11 \\ 2,4x + 2,1y = 45 \end{cases}$
Коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-2,1$ и $2,1$), поэтому удобно применить метод сложения.
Сложим два уравнения системы:
$(3,2x - 2,1y) + (2,4x + 2,1y) = 11 + 45$
$5,6x = 56$
$x = \frac{56}{5,6} = 10$
Подставим найденное значение $x=10$ во второе уравнение $2,4x + 2,1y = 45$:
$2,4 \cdot 10 + 2,1y = 45$
$24 + 2,1y = 45$
$2,1y = 45 - 24$
$2,1y = 21$
$y = \frac{21}{2,1} = 10$
Ответ: $x = 10, y = 10$.

г) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2,9x + 5,1y = -8 \\ 3,7x + 1,3y = -5 \end{cases}$
Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей.
$10 \cdot (2,9x + 5,1y) = 10 \cdot (-8) \implies 29x + 51y = -80$.
$10 \cdot (3,7x + 1,3y) = 10 \cdot (-5) \implies 37x + 13y = -50$.
Получаем систему:
$\begin{cases} 29x + 51y = -80 \\ 37x + 13y = -50 \end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$13y = -50 - 37x$
$y = \frac{-50 - 37x}{13}$
Подставим полученное выражение в первое уравнение:
$29x + 51 \left( \frac{-50 - 37x}{13} \right) = -80$
Умножим обе части уравнения на 13:
$13 \cdot 29x + 51(-50 - 37x) = -80 \cdot 13$
$377x - 2550 - 1887x = -1040$
Приведем подобные слагаемые:
$-1510x = -1040 + 2550$
$-1510x = 1510$
$x = -1$
Теперь найдем $y$, подставив $x = -1$ в выражение для $y$:
$y = \frac{-50 - 37(-1)}{13} = \frac{-50 + 37}{13} = \frac{-13}{13} = -1$
Ответ: $x = -1, y = -1$.