Страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

103. В течение года зарплата сотрудника увеличивалась дважды — каждый раз на 20 %. На сколько процентов увеличилась зарплата сотрудника за два раза?

Чтобы определить общее процентное изменение после двух последовательных повышений, нельзя просто сложить проценты (20% + 20% = 40%), так как второе повышение рассчитывается от уже увеличенной суммы. Решим задачу поэтапно.

Решение:

1. Введем обозначение.
Пусть начальная зарплата сотрудника равна $S$. Эту величину мы принимаем за 100%.

2. Первое повышение зарплаты.
Зарплата увеличилась на 20%. Чтобы найти новую зарплату ($S_1$), нужно увеличить начальную сумму $S$ на 20%. Увеличение на 20% эквивалентно умножению на коэффициент 1.2.
$S_1 = S + \frac{20}{100} \times S = S + 0.2S = 1.2S$

3. Второе повышение зарплаты.
Второй раз зарплата снова увеличилась на 20%, но уже от новой суммы $S_1$. Рассчитаем итоговую зарплату $S_2$:
$S_2 = S_1 + \frac{20}{100} \times S_1 = S_1 + 0.2S_1 = 1.2S_1$
Теперь подставим значение $S_1$ из предыдущего шага ($S_1 = 1.2S$):
$S_2 = 1.2 \times (1.2S) = 1.44S$

4. Расчет общего процентного увеличения.
Итоговая зарплата $S_2$ равна $1.44S$. Это означает, что она составляет 144% от первоначальной зарплаты $S$.
Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась зарплата за два раза, вычтем из итогового процентного значения начальное (100%):
$144\% - 100\% = 44\%$

Другой способ найти изменение — это рассчитать разницу между конечной и начальной зарплатой и отнести ее к начальной зарплате:
Общее увеличение = $\frac{S_2 - S}{S} \times 100\% = \frac{1.44S - S}{S} \times 100\% = \frac{0.44S}{S} \times 100\% = 0.44 \times 100\% = 44\%$

Ответ: зарплата сотрудника за два раза увеличилась на 44%.

104. За счёт внедрения нового оборудования время изготовления единицы продукции в первый месяц уменьшилось на 30 %, а во второй месяц — ещё на 20 %. На сколько процентов уменьшилось время изготовления единицы продукции за два месяца?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать изменение времени изготовления продукции.

Пусть $T$ — первоначальное время изготовления единицы продукции. Мы можем принять это значение за 100% или за 1 (единицу).

1. Уменьшение в первый месяц.

Время уменьшилось на 30%. Это значит, что новое время $T_1$ составило $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначального времени $T$. Чтобы найти новое значение, нужно умножить исходное на коэффициент, соответствующий 70%:

$T_1 = T \times (1 - \frac{30}{100}) = T \times 0.7 = 0.7T$

2. Уменьшение во второй месяц.

Во второй месяц время уменьшилось ещё на 20%. Важно учесть, что это уменьшение происходит от нового, уже уменьшенного времени $T_1$. Новое время $T_2$ составит $100\% - 20\% = 80\%$ от времени $T_1$:

$T_2 = T_1 \times (1 - \frac{20}{100}) = T_1 \times 0.8$

Теперь подставим в эту формулу значение $T_1$, выраженное через $T$:

$T_2 = (0.7T) \times 0.8 = 0.56T$

3. Расчет общего процентного уменьшения.

Итоговое время $T_2$ составляет $0.56$ от первоначального времени $T$, то есть 56%.

Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилось время за два месяца, нужно вычесть итоговый процент из начального (100%):

Общее уменьшение = $100\% - 56\% = 44\%$

Можно также рассчитать изменение в долях: первоначальное время — $T$, конечное — $0.56T$. Уменьшение составило $T - 0.56T = 0.44T$. Чтобы перевести это в проценты, нужно умножить на 100: $0.44 \times 100\% = 44\%$.

Ответ: 44%

105. На сколько процентов число 36 больше, чем число 30?

Чтобы определить, на сколько процентов число 36 больше, чем число 30, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сначала найдем абсолютную разницу между этими двумя числами. Это покажет, на сколько единиц одно число больше другого.

Разница = $36 - 30 = 6$.

2. Теперь нам нужно выяснить, какую часть эта разница (6) составляет от числа, с которым мы производим сравнение. В вопросе "на сколько процентов число 36 больше, чем число 30?" за основу для сравнения (т.е. за 100%) берется число 30.

3. Чтобы найти эту часть в виде дроби, разделим разницу на число 30.

Отношение = $\frac{6}{30}$.

4. Для того чтобы выразить это отношение в процентах, умножим полученную дробь на 100%.

Процентное увеличение = $\frac{6}{30} \times 100\%$.

Выполним вычисления:

$\frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0.2$.

$0.2 \times 100\% = 20\%$.

Таким образом, число 36 больше числа 30 на 20 процентов.

Ответ: на 20%.

299. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 3x + 2y - 8 = 0 \\ 2x + 3y - 7 = 0 \end{cases}$

Уравняем коэффициенты при x, умножив первое уравнение системы на 2, а второе — на 3:

$\begin{cases} 3x + 2y - 8 = 0 \quad | \ 2 \\ 2x + 3y - 7 = 0 \quad | \ 3 \end{cases}$

$\begin{cases} 6x + 4y - 16 = 0 \\ 6x + 9y - 21 = 0 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения системы первое и решим полученное уравнение:

$5y - 5 = 0$

...

Подставим найденное значение y в первое уравнение исходной системы и из полученного уравнения найдём значение x:

$3x + 2 \cdot \text{....} - 8 = 0;$

...

...

Решение системы: $( \dots; \dots ).$

a) $\begin{cases} 5x - 3y - 13 = 0 \\ x + 2y = 0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} -7x + 2y - 5 = 0 \\ 2x - 7y - 5 = 0 \end{cases}$

а) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 2y - 8 = 0, \\ 2x + 3y - 7 = 0; \end{cases} $
Для решения системы методом сложения уравняем коэффициенты при переменной x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
$ \begin{cases} 2(3x + 2y - 8) = 0, \\ 3(2x + 3y - 7) = 0; \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x + 4y - 16 = 0, \\ 6x + 9y - 21 = 0. \end{cases} $
Теперь вычтем первое уравнение из второго:
$(6x + 9y - 21) - (6x + 4y - 16) = 0$
$6x + 9y - 21 - 6x - 4y + 16 = 0$
$5y - 5 = 0$
Решим полученное уравнение относительно y:
$5y = 5$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти x:
$3x + 2(1) - 8 = 0$
$3x + 2 - 8 = 0$
$3x - 6 = 0$
$3x = 6$
$x = 2$
Таким образом, решение системы: $(2; 1)$.
Ответ: $(2; 1)$.

б) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 5x - 3y - 13 = 0, \\ x + 2y = 0; \end{cases} $
Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим x из второго уравнения:
$x = -2y$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$5(-2y) - 3y - 13 = 0$
Решим полученное уравнение относительно y:
$-10y - 3y - 13 = 0$
$-13y - 13 = 0$
$-13y = 13$
$y = -1$
Теперь найдем x, подставив значение $y = -1$ в выражение $x = -2y$:
$x = -2(-1)$
$x = 2$
Решение системы: $(2; -1)$.
Ответ: $(2; -1)$.

в) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} -7x + 2y - 5 = 0, \\ 2x - 7y - 5 = 0. \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 7, чтобы коэффициенты при x стали противоположными числами:
$ \begin{cases} 2(-7x + 2y - 5) = 0, \\ 7(2x - 7y - 5) = 0; \end{cases} $
$ \begin{cases} -14x + 4y - 10 = 0, \\ 14x - 49y - 35 = 0. \end{cases} $
Сложим два полученных уравнения:
$(-14x + 4y - 10) + (14x - 49y - 35) = 0$
$-14x + 14x + 4y - 49y - 10 - 35 = 0$
$-45y - 45 = 0$
Решим это уравнение относительно y:
$-45y = 45$
$y = -1$
Подставим значение $y = -1$ во второе уравнение исходной системы для нахождения x:
$2x - 7(-1) - 5 = 0$
$2x + 7 - 5 = 0$
$2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = -1$
Решение системы: $(-1; -1)$.
Ответ: $(-1; -1)$.