Страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

84. a) На координатной оси Ox отмечены числа a и b (рис. 6).

Отметьте на координатной оси числа $-a$; $-b$; $a + b$; $-a + b$; $a - b$; $-a - b$.

Рис. 6

б) Зачеркните утверждения, неверные для чисел a и b:

$a + b < 0$, $-a + b < 0$,

$a - b < 0$, $-a - b > 0$,

$ab < 0$, $ab > 0$,

$a^2b > 0$, $ab^2 > 0$.

а)

Для решения задачи проанализируем расположение чисел a и b на координатной оси, представленной на рисунке. Примем за единичный отрезок одну клетку сетки.

Число a расположено правее нуля на 3 единичных отрезка, следовательно, его координата равна 3, то есть $a = 3$.

Число b расположено левее нуля на 4 единичных отрезка, следовательно, его координата равна -4, то есть $b = -4$.

Таким образом, мы имеем дело с положительным числом a и отрицательным числом b, причем модуль числа b больше модуля числа a: $|b| > |a|$ (так как $|-4| > |3|$).

Теперь определим координаты заданных выражений, чтобы отметить их на оси:

• -a: Это число, противоположное a. Так как $a = 3$, то $-a = -3$.
• -b: Это число, противоположное b. Так как $b = -4$, то $-b = -(-4) = 4$.
• a + b: Сумма чисел a и b. $a + b = 3 + (-4) = -1$.
• -a + b: Сумма чисел -a и b. $-a + b = -3 + (-4) = -7$.
• a - b: Разность чисел a и b. $a - b = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7$.
• -a - b: Разность чисел -a и b. $-a - b = -3 - (-4) = -3 + 4 = 1$.

Отметим все точки на координатной оси. Расположим их в порядке возрастания их значений:

Ответ: Координаты искомых чисел на оси: $-a = -3$; $-b = 4$; $a + b = -1$; $-a + b = -7$; $a - b = 7$; $-a - b = 1$.

б)

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить, является ли оно верным или неверным, исходя из того, что $a > 0$, $b < 0$ и $|b| > |a|$.

• $a + b < 0$: Складываем положительное число a и отрицательное b. Так как модуль отрицательного числа больше ($|b| > |a|$), результат будет отрицательным. Утверждение верно.
• $a - b < 0$: Выражение равно $a + (-b)$. Так как $b < 0$, то $-b > 0$. Сумма двух положительных чисел ($a$ и $-b$) всегда положительна. Следовательно, $a - b > 0$. Утверждение неверно.
• $ab < 0$: Произведение положительного числа a и отрицательного b всегда отрицательно. Утверждение верно.
• $a^2b > 0$: $a^2$ положительно (так как $a \neq 0$). Произведение положительного $a^2$ и отрицательного b будет отрицательным. Следовательно, $a^2b < 0$. Утверждение неверно.
• $-a + b < 0$: $-a$ отрицательно (так как $a > 0$). Сумма двух отрицательных чисел (-a и b) всегда отрицательна. Утверждение верно.
• $-a - b > 0$: Выражение равно $-a + (-b)$. $-a$ отрицательно, а $-b$ положительно. Так как $|-b| = |b|$ и $|-a| = |a|$, а по условию $|b| > |a|$, то модуль положительного слагаемого ($-b$) больше модуля отрицательного ($-a$). Значит, результат будет положительным. Утверждение верно.
• $ab > 0$: Как уже было показано, произведение $ab$ отрицательно. Утверждение неверно.
• $ab^2 > 0$: $b^2$ положительно (так как $b \neq 0$). Произведение положительного числа a и положительного $b^2$ всегда положительно. Утверждение верно.

Таким образом, неверными являются три утверждения. Зачеркнем их в общем списке:

Ответ: Неверные утверждения, которые нужно зачеркнуть: $a - b < 0$, $a^2b > 0$, $ab > 0$.

85. На координатной оси Ox отмечено число a (рис. 7). Подчеркните утверждение, которое верно для этого числа:

$2 - a > 0$, $a - 5 < 0$, $-6 + a > 0$, $a - 4 < 0$, $10 - a > 0$.

Рис. 7

Для решения задачи сначала определим примерное значение числа $a$ по его расположению на координатной оси.

На оси отмечены точки 0 и 1, что задает единичный отрезок. Отсчитывая единичные отрезки от нуля, мы видим, что точка $a$ находится между целыми числами 2 и 3. Таким образом, для числа $a$ справедливо двойное неравенство: $2 < a < 3$.

Теперь последовательно проверим каждое из предложенных утверждений, используя найденный интервал для $a$.

$2 - a > 0$
Преобразуем это неравенство, чтобы выразить $a$. Перенесем $a$ в правую часть:
$2 > a$, что то же самое, что и $a < 2$.
Это утверждение неверно, так как из анализа рисунка следует, что $a > 2$.

$a - 5 < 0$
Преобразуем неравенство, перенеся 5 в правую часть:
$a < 5$.
Поскольку мы установили, что $2 < a < 3$, то очевидно, что $a$ меньше 5. Следовательно, это утверждение верно.

$-6 + a > 0$
Преобразуем неравенство, перенеся -6 в правую часть:
$a > 6$.
Это утверждение неверно, так как $a$ находится в интервале от 2 до 3, и, следовательно, не может быть больше 6.

$a - 4 < 0$
Преобразуем неравенство, перенеся 4 в правую часть:
$a < 4$.
Поскольку $2 < a < 3$, то $a$ также меньше 4. Это утверждение верно.

$10 - a > 0$
Преобразуем неравенство:
$10 > a$, или $a < 10$.
Поскольку $2 < a < 3$, то $a$ очевидно меньше 10. Это утверждение также верно.

В результате проверки мы получили три верных утверждения: $a - 5 < 0$, $a - 4 < 0$ и $10 - a > 0$. В подобных заданиях обычно предполагается один единственно верный ответ. Сравним верные утверждения, которые можно записать как $a < 5$, $a < 4$ и $a < 10$. Неравенство $a < 4$ является самым сильным (наиболее точным), так как из того, что число меньше 4, автоматически следует, что оно меньше 5 и 10. Именно оно дает наилучшую оценку для числа $a$ из предложенных вариантов. Поэтому это утверждение следует считать правильным ответом.

Ответ: $a - 4 < 0$.

86. Даны точки A(5,3); B(-8,3); O(0); C(4,8); D(-9,9). Вычислите длину отрезка:

$OA = |0 - 5,3| = 5,3$

а) OB = . . . . . . . . . . . . . . .

б) AB = . . . . . . . . . . . . . . .

в) OC = . . . . . . . . . . . . . . .

г) OD = . . . . . . . . . . . . . . .

д) CD = . . . . . . . . . . . . . . .

е) AD = . . . . . . . . . . . . . . .

ж) AC = . . . . . . . . . . . . . . .

з) BC = . . . . . . . . . . . . . . .

Для вычисления длины отрезка между двумя точками на координатной прямой используется формула расстояния: $d = |x_2 - x_1|$, где $x_1$ и $x_2$ — координаты точек. Судя по примеру $OA = |0 - 5,3| = 5,3$, координаты точек A(5,3), B(-8,3), O(0), C(4,8), D(-9,9) следует понимать как точки на числовой оси с координатами A=5,3; B=-8,3; O=0; C=4,8 и D=-9,9.

а) OB

Длина отрезка OB вычисляется как модуль разности координат точек B и O:
$OB = |-8,3 - 0| = |-8,3| = 8,3$
Ответ: 8,3

б) AB

Длина отрезка AB вычисляется как модуль разности координат точек B и A:
$AB = |-8,3 - 5,3| = |-13,6| = 13,6$
Ответ: 13,6

в) OC

Длина отрезка OC вычисляется как модуль разности координат точек C и O:
$OC = |4,8 - 0| = |4,8| = 4,8$
Ответ: 4,8

г) OD

Длина отрезка OD вычисляется как модуль разности координат точек D и O:
$OD = |-9,9 - 0| = |-9,9| = 9,9$
Ответ: 9,9

д) CD

Длина отрезка CD вычисляется как модуль разности координат точек D и C:
$CD = |-9,9 - 4,8| = |-14,7| = 14,7$
Ответ: 14,7

е) AD

Длина отрезка AD вычисляется как модуль разности координат точек D и A:
$AD = |-9,9 - 5,3| = |-15,2| = 15,2$
Ответ: 15,2

ж) AC

Длина отрезка AC вычисляется как модуль разности координат точек C и A:
$AC = |4,8 - 5,3| = |-0,5| = 0,5$
Ответ: 0,5

з) BC

Длина отрезка BC вычисляется как модуль разности координат точек C и B:
$BC = |4,8 - (-8,3)| = |4,8 + 8,3| = |13,1| = 13,1$
Ответ: 13,1

290. Выразите $x$ через $y$:

a) $x + 7y - 11 = 0$;

б) $-x + 2y - 1,5 = 0$.

а) Чтобы выразить переменную $x$ через переменную $y$ в уравнении $x + 7y - 11 = 0$, нужно изолировать $x$ в одной части уравнения. Для этого мы перенесем все остальные члены уравнения (в данном случае $7y$ и $-11$) в другую часть, изменив их знаки на противоположные.

Исходное уравнение:

$$x + 7y - 11 = 0$$

Переносим $7y$ и $-11$ в правую часть уравнения:

$$x = -7y + 11$$

Для удобства можно записать это выражение, поменяв слагаемые местами:

$$x = 11 - 7y$$

Ответ: $x = 11 - 7y$

б) Аналогично поступим с уравнением $-x + 2y - 1,5 = 0$. Наша цель — выразить $x$.

Исходное уравнение:

$$-x + 2y - 1,5 = 0$$

Способ 1: Перенесем $-x$ в правую часть, чтобы избавиться от знака "минус" перед переменной.

$$2y - 1,5 = x$$

Теперь поменяем местами левую и правую части для стандартного вида:

$$x = 2y - 1,5$$

Способ 2: Оставим $-x$ в левой части, а $2y$ и $-1,5$ перенесем в правую.

$$-x = -2y + 1,5$$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-1$:

$$(-1) \cdot (-x) = (-1) \cdot (-2y + 1,5)$$

$$x = 2y - 1,5$$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $x = 2y - 1,5$

291. Выясните, является ли пара чисел (1; 2) решением системы:

а) $\begin{cases} 3x + 2y - 7 = 0 \\ x - 4y + 7 = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} -x + 2y - 3 = 0 \\ 2x - 3y + 5 = 0 \end{cases}$

Чтобы выяснить, является ли пара чисел $(1; 2)$ решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x=1$ и $y=2$ в каждое уравнение системы. Если в результате получаются верные числовые равенства для всех уравнений системы, то данная пара чисел является ее решением.

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 2y - 7 = 0, \\ x - 4y + 7 = 0; \end{cases} $$ Подставим значения $x=1$ и $y=2$ в первое уравнение системы:
$3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 7 = 3 + 4 - 7 = 7 - 7 = 0$
$0 = 0$
Получили верное равенство.
Теперь подставим те же значения во второе уравнение системы:
$1 - 4 \cdot 2 + 7 = 1 - 8 + 7 = -7 + 7 = 0$
$0 = 0$
Получили верное равенство.
Поскольку пара чисел $(1; 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы, она является решением данной системы.
Ответ: да, является.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} -x + 2y - 3 = 0, \\ 2x - 3y + 5 = 0. \end{cases} $$ Подставим значения $x=1$ и $y=2$ в первое уравнение системы:
$-(1) + 2 \cdot 2 - 3 = -1 + 4 - 3 = 3 - 3 = 0$
$0 = 0$
Получили верное равенство.
Теперь подставим те же значения во второе уравнение системы:
$2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 5 = 2 - 6 + 5 = -4 + 5 = 1$
$1 = 0$
Получили неверное равенство.
Поскольку пара чисел $(1; 2)$ не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением всей системы.
Ответ: нет, не является.