Страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

61. Впишите конечную десятичную дробь так, чтобы было верно двойное неравенство:

а) $0,(7) < \dots < 0,(8)$;

б) $0,(27) < \dots < 0,(28)$;

в) $0,(344) < \dots < 0,(345)$;

г) $0,(2017) < \dots < 0,(2018)$.

а) Чтобы найти конечную десятичную дробь, которая удовлетворяет неравенству $0,(7) < x < 0,(8)$, сначала представим периодические дроби в развернутом виде. Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определённая группа цифр. В нашем случае:

$0,(7) = 0,7777...$

$0,(8) = 0,8888...$

Таким образом, исходное неравенство можно записать как: $0,7777... < x < 0,8888...$.

Нам нужно найти любую конечную десятичную дробь, которая больше $0,7777...$ и меньше $0,8888...$. Самый простой способ — взять число, которое находится между $0,7$ и $0,8$. Например, число $0,8$. Проверим, подходит ли оно.

1. Сравним $0,(7)$ и $0,8$. Так как первая цифра после запятой у $0,(7)$ это 7, а у $0,8$ это 8, и $7 < 8$, то $0,(7) < 0,8$.

2. Сравним $0,8$ и $0,(8)$. $0,8$ можно записать как $0,8000...$. У числа $0,(8) = 0,8888...$ первая цифра после запятой такая же (8), но вторая цифра (8) больше, чем у $0,8000...$ (0). Значит, $0,8 < 0,(8)$.

Оба неравенства верны, следовательно, $0,8$ — подходящее число.

Ответ: 0,8

б) Рассмотрим двойное неравенство $0,(27) < x < 0,(28)$.

Представим периодические дроби в развернутом виде:

$0,(27) = 0,272727...$

$0,(28) = 0,282828...$

Неравенство принимает вид: $0,272727... < x < 0,282828...$.

Искомая конечная десятичная дробь $x$ должна быть больше $0,272727...$ и меньше $0,282828...$. Мы видим, что левая граница начинается с $0,27$, а правая — с $0,28$. Возьмем конечную дробь $0,28$.

1. Сравним $0,(27)$ и $0,28$. $0,2727... < 0,2800...$, так как на второй позиции после запятой $7 < 8$.

2. Сравним $0,28$ и $0,(28)$. $0,2800... < 0,2828...$, так как на третьей позиции после запятой $0 < 2$.

Оба неравенства выполняются. Значит, $0,28$ является верным решением.

Ответ: 0,28

в) Рассмотрим двойное неравенство $0,(344) < x < 0,(345)$.

Развернем периодические дроби:

$0,(344) = 0,344344...$

$0,(345) = 0,345345...$

Получаем неравенство: $0,344344... < x < 0,345345...$.

Нужно найти конечную десятичную дробь $x$, которая находится между этими двумя числами. Левая граница начинается с $0,344$, а правая — с $0,345$. Возьмем конечную дробь $0,345$.

1. Сравним $0,(344)$ и $0,345$. $0,344344... < 0,345000...$, так как на третьей позиции после запятой $4 < 5$.

2. Сравним $0,345$ и $0,(345)$. $0,345000... < 0,345345...$, так как на четвертой позиции после запятой $0 < 3$.

Оба неравенства верны, поэтому число $0,345$ является подходящим решением.

Ответ: 0,345

г) Рассмотрим двойное неравенство $0,(2017) < x < 0,(2018)$.

Развернем периодические дроби:

$0,(2017) = 0,20172017...$

$0,(2018) = 0,20182018...$

Неравенство в развернутом виде: $0,20172017... < x < 0,20182018...$.

Ищем конечную десятичную дробь $x$ между этими значениями. Левая граница начинается с $0,2017$, а правая — с $0,2018$. Возьмем конечную дробь $0,2018$.

1. Сравним $0,(2017)$ и $0,2018$. $0,20172017... < 0,20180000...$, так как на четвертой позиции после запятой $7 < 8$.

2. Сравним $0,2018$ и $0,(2018)$. $0,20180000... < 0,20182018...$, так как на пятой позиции после запятой $0 < 2$.

Оба неравенства верны, следовательно, $0,2018$ — это правильный ответ.

Ответ: 0,2018

62. Впишите периодическую дробь так, чтобы было верно двойное неравенство:

$0,8 < 0,(8) < 0,9;$ $0,41 < 0,(41) < 0,42;$ $-0,78 < -0,(7) < -0,77$

а) $0,5 < \ldots < 0,6;$

б) $0,28 < \ldots < 0,29;$

в) $-0,7 < \ldots < -0,6;$

г) $0,123 < \ldots < 0,124;$

д) $0,98 < \ldots < 0,99;$

е) $-0,49 < \ldots < -0,48;$

Чтобы вписать периодическую дробь в двойное неравенство, нужно найти число, которое больше левой границы и меньше правой границы, и представить его в виде периодической дроби. Существует бесконечное множество таких дробей, поэтому в ответах будут приведены лишь примеры возможных решений.

а) $0,5 < \dots < 0,6$
Нам нужно найти периодическую дробь, которая больше 0,5 и меньше 0,6.
Возьмем левую границу 0,5 и добавим к ней периодическую часть, чтобы полученное число было больше 0,5, но не превышало 0,6.
Например, выберем число $0,5(3)$. Это число равно $0,5333...$
Сравним его с границами неравенства:
$0,5 < 0,5333...$ — это верно, так как $0,5 = 0,5000...$, и на месте сотых у первого числа стоит 0, а у второго 3.
$0,5333... < 0,6$ — это верно, так как на месте десятых у первого числа стоит 5, а у второго 6.
Следовательно, неравенство $0,5 < 0,5(3) < 0,6$ является верным. Можно выбрать и другие дроби, например, $0,5(1)$, $0,5(2)$, $0,5(8)$ и так далее.
Ответ: $0,5(3)$.

б) $0,28 < \dots < 0,29$
Нам нужно найти периодическую дробь между 0,28 и 0,29.
Возьмем левую границу 0,28 и добавим к ней любую не равную нулю цифру в качестве периода.
Например, выберем число $0,28(1)$. Это число равно $0,28111...$
Проверим неравенство:
$0,28 < 0,28111...$ — это верно, так как $0,28 = 0,28000...$, а на месте тысячных у второго числа стоит 1.
$0,28111... < 0,29$ — это верно, так как на месте сотых у первого числа стоит 8, а у второго 9.
Следовательно, неравенство $0,28 < 0,28(1) < 0,29$ является верным.
Ответ: $0,28(1)$.

в) $-0,7 < \dots < -0,6$
Нам нужно найти периодическую дробь между -0,7 и -0,6.
При сравнении отрицательных чисел, больше то число, модуль которого меньше. То есть, нам нужно найти число $x$, для которого выполняется $-0,7 < x < -0,6$, что эквивалентно $0,6 < |x| < 0,7$.
Мы можем взять число, модуль которого начинается с 0,6, и добавить к нему периодическую часть.
Например, выберем число $-0,6(5)$. Модуль этого числа равен $0,6(5) = 0,6555...$
Проверим неравенство для модулей: $0,6 < 0,6555... < 0,7$.
$0,6 < 0,6555...$ — верно.
$0,6555... < 0,7$ — верно.
Так как $0,6 < 0,6(5) < 0,7$, то умножив все части на -1 и изменив знаки неравенства, получим $-0,7 < -0,6(5) < -0,6$.
Ответ: $-0,6(5)$.

г) $0,123 < \dots < 0,124$
Нам нужно найти периодическую дробь между 0,123 и 0,124.
Возьмем левую границу 0,123 и добавим к ней периодическую часть.
Например, выберем число $0,123(4)$. Это число равно $0,123444...$
Проверим неравенство:
$0,123 < 0,123444...$ — это верно, так как $0,123 = 0,123000...$, а на месте десятитысячных у второго числа стоит 4.
$0,123444... < 0,124$ — это верно, так как на месте тысячных у первого числа стоит 3, а у второго 4.
Следовательно, неравенство $0,123 < 0,123(4) < 0,124$ является верным.
Ответ: $0,123(4)$.

д) $0,98 < \dots < 0,99$
Нам нужно найти периодическую дробь между 0,98 и 0,99.
Возьмем левую границу 0,98 и добавим к ней периодическую часть.
Например, выберем число $0,98(2)$. Это число равно $0,98222...$
Проверим неравенство:
$0,98 < 0,98222...$ — это верно, так как $0,98 = 0,98000...$, а на месте тысячных у второго числа стоит 2.
$0,98222... < 0,99$ — это верно, так как на месте сотых у первого числа стоит 8, а у второго 9.
Следовательно, неравенство $0,98 < 0,98(2) < 0,99$ является верным.
Ответ: $0,98(2)$.

е) $-0,49 < \dots < -0,48$
Нам нужно найти периодическую дробь между -0,49 и -0,48.
Это неравенство для отрицательных чисел, поэтому искомое число $x$ должно удовлетворять условию $0,48 < |x| < 0,49$.
Мы можем взять число, модуль которого начинается с 0,48, и добавить к нему периодическую часть.
Например, выберем число $-0,48(3)$. Модуль этого числа равен $0,48(3) = 0,48333...$
Проверим неравенство для модулей: $0,48 < 0,48333... < 0,49$.
$0,48 < 0,48333...$ — верно.
$0,48333... < 0,49$ — верно.
Так как $0,48 < 0,48(3) < 0,49$, то умножив все части на -1 и изменив знаки неравенства, получим $-0,49 < -0,48(3) < -0,48$.
Ответ: $-0,48(3)$.

63. Для положительных чисел $a$ и $b$ верно неравенство $a < b$. Сравните числа:

а) $a$ $0$;

б) $-a$ $0$;

в) $-b$ $a$;

г) $-a$ $b$;

д) $-b$ $-a$;

е) $-b$ $b$;

ж) $-a$ $-b$;

з) $-\vert b \vert$ $-\vert a \vert$.

По условию даны положительные числа $a$ и $b$, для которых выполняется неравенство $a < b$. Это означает, что $a > 0$ и $b > 0$. Для сравнения чисел в каждом пункте будем использовать эти начальные данные и свойства числовых неравенств.

а) Сравнить $a$ и $0$.

Поскольку по условию число $a$ является положительным, оно по определению больше нуля.

Ответ: $a > 0$.

б) Сравнить $-a$ и $0$.

Так как $a$ — положительное число ($a > 0$), то при умножении его на $-1$ мы получим отрицательное число. Любое отрицательное число меньше нуля. $a > 0$ $a \cdot (-1) < 0 \cdot (-1)$ $-a < 0$

Ответ: $-a < 0$.

в) Сравнить $-b$ и $a$.

По условию $a$ и $b$ — положительные числа. Следовательно, $a > 0$ и $-b < 0$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.

Ответ: $-b < a$.

г) Сравнить $-a$ и $b$.

По условию $a$ и $b$ — положительные числа. Следовательно, $-a < 0$ и $b > 0$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.

Ответ: $-a < b$.

д) Сравнить $-b$ и $-a$.

Возьмем исходное неравенство $a < b$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$. Согласно свойству неравенств, при умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. $a < b$ $a \cdot (-1) > b \cdot (-1)$ $-a > -b$ Это же неравенство можно записать как $-b < -a$.

Ответ: $-b < -a$.

е) Сравнить $-b$ и $b$.

По условию $b$ — положительное число ($b > 0$), значит $-b$ — отрицательное число ($-b < 0$). Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Ответ: $-b < b$.

ж) Сравнить $-a$ и $-b$.

Это задание аналогично пункту д). Возьмем исходное неравенство $a < b$ и умножим обе его части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный. $a < b \implies -a > -b$.

Ответ: $-a > -b$.

з) Сравнить $-|b|$ и $-|a|$.

Поскольку числа $a$ и $b$ положительные, их модуль равен самим этим числам: $|a| = a$ и $|b| = b$. Таким образом, сравнение выражений $-|b|$ и $-|a|$ сводится к сравнению $-b$ и $-a$. Как было показано в пункте д), из неравенства $a < b$ следует, что $-a > -b$. Следовательно, $-|a| > -|b|$, что равносильно $-|b| < -|a|$.

Ответ: $-|b| < -|a|$.

64. Соедините линией числа от меньшего к большему:

$0,(89)$

$-0,(98)$

$-0,89$

$-0,(89)$

$-1$

$0,(98)$

$0,89$

$-0,98$

Для того чтобы соединить числа линией от меньшего к большему, необходимо расположить их в порядке возрастания. Для этого сравним все представленные числа: $0,(89)$; $-0,(98)$; $-0,(89)$; $-0,89$; $-1$; $0,(98)$; $0,89$; $-0,98$.

Сначала для удобства сравнения запишем периодические дроби в развернутом виде:

• $0,(89) = 0,898989...$
• $-0,(98) = -0,989898...$
• $-0,(89) = -0,898989...$
• $0,(98) = 0,989898...$

Теперь разделим все числа на отрицательные и положительные. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного.

Сравнение отрицательных чисел

Отрицательные числа из списка: $-1$, $-0,98$, $-0,(98)$, $-0,89$, $-0,(89)$.
При сравнении отрицательных чисел меньшим является то, модуль (абсолютная величина) которого больше. Сравним модули этих чисел:

• $|-1| = 1$
• $|-0,(98)| = 0,9898...$
• $|-0,98| = 0,9800...$
• $|-0,(89)| = 0,8989...$
• $|-0,89| = 0,8900...$

Расположим модули в порядке возрастания: $0,89 < 0,8989... < 0,98 < 0,9898... < 1$.
Соответственно, сами отрицательные числа в порядке возрастания будут располагаться в обратном порядке:

$-1 < -0,(98) < -0,98 < -0,(89) < -0,89$

Сравнение положительных чисел

Положительные числа из списка: $0,89$, $0,(89)$, $0,(98)$.
Сравним их значения: $0,89$, $0,8989...$, $0,9898...$
Очевидно, что $0,89 < 0,8989... < 0,9898...$
Следовательно, порядок возрастания для положительных чисел следующий:

$0,89 < 0,(89) < 0,(98)$

Итоговый порядок

Теперь объединим отсортированные группы чисел. Сначала идут отрицательные числа в порядке возрастания, а затем положительные:

$-1 < -0,(98) < -0,98 < -0,(89) < -0,89 < 0,89 < 0,(89) < 0,(98)$

Таким образом, линия должна соединять числа в следующей последовательности.

Ответ: последовательность чисел от меньшего к большему: $-1 \rightarrow -0,(98) \rightarrow -0,98 \rightarrow -0,(89) \rightarrow -0,89 \rightarrow 0,89 \rightarrow 0,(89) \rightarrow 0,(98)$.

274. Докажите, что не являются равносильными уравнения:

a) $3x + 1 = 4x + 1$ и $2x = 4$;

...................

...................

б) $2x + 3 = 3x + 2$ и $2x = 6$.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней (решений) совпадают. Чтобы доказать, что пара уравнений не является равносильной, нужно найти корни каждого из них и показать, что они различны.

а)

Рассмотрим пару уравнений: $3x + 1 = 4x + 1$ и $2x = 4$.

Сначала решим первое уравнение $3x + 1 = 4x + 1$. Для этого перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую:

$3x - 4x = 1 - 1$

$-x = 0$

$x = 0$

Корень первого уравнения равен $0$.

Теперь решим второе уравнение $2x = 4$. Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Корень второго уравнения равен $2$.

Так как корень первого уравнения ($x=0$) не совпадает с корнем второго уравнения ($x=2$), множества их решений различны. Следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

Ответ: Уравнения не являются равносильными, так как корень первого уравнения $x=0$, а корень второго — $x=2$.

б)

Рассмотрим пару уравнений: $2x + 3 = 3x + 2$ и $2x = 6$.

Решим первое уравнение $2x + 3 = 3x + 2$. Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую:

$2x - 3x = 2 - 3$

$-x = -1$

$x = 1$

Корень первого уравнения равен $1$.

Решим второе уравнение $2x = 6$. Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{6}{2}$

$x = 3$

Корень второго уравнения равен $3$.

Поскольку корень первого уравнения ($x=1$) не совпадает с корнем второго уравнения ($x=3$), множества их решений различны. Следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

Ответ: Уравнения не являются равносильными, так как корень первого уравнения $x=1$, а корень второго — $x=3$.

275. Равносильны ли уравнения:

а) $8x + 21 = 5x$ и $8x - 5x + 21 = 0$;

б) $8x - 5x + 21 = 0$ и $3x + 21 = 0$;

в) $3x + 21 = 0$ и $3x = -21$;

г) $3x = -21$ и $x = -7$;

д) $8x + 21 = 5x$ и $x = -7$?

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если они имеют одинаковые множества решений. Чтобы определить, равносильны ли данные пары уравнений, мы можем либо решить каждое уравнение и сравнить их корни, либо преобразовать одно уравнение в другое с помощью равносильных преобразований.

а) $8x + 21 = 5x$ и $8x - 5x + 21 = 0$
Возьмем первое уравнение $8x + 21 = 5x$.
Перенесем слагаемое $5x$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак на противоположный. Это является равносильным преобразованием.
$8x + 21 - 5x = 0$
Поменяв местами слагаемые в левой части, получим:
$8x - 5x + 21 = 0$
Это в точности второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.
Для проверки можно решить оба уравнения:
1) $8x + 21 = 5x \implies 8x - 5x = -21 \implies 3x = -21 \implies x = -7$.
2) $8x - 5x + 21 = 0 \implies 3x + 21 = 0 \implies 3x = -21 \implies x = -7$.
Корни обоих уравнений совпадают.
Ответ: да, уравнения равносильны.

б) $8x - 5x + 21 = 0$ и $3x + 21 = 0$
В первом уравнении $8x - 5x + 21 = 0$ можно привести подобные слагаемые в левой части.
$8x - 5x = 3x$.
После приведения подобных слагаемых (что является равносильным преобразованием) уравнение примет вид:
$3x + 21 = 0$.
Это второе уравнение. Таким образом, уравнения равносильны.
Решения обоих уравнений: $3x = -21 \implies x = -7$.
Ответ: да, уравнения равносильны.

в) $3x + 21 = 0$ и $3x = -21$
Рассмотрим первое уравнение $3x + 21 = 0$.
Перенесем свободный член $21$ из левой части в правую с противоположным знаком. Это равносильное преобразование.
$3x = -21$.
Мы получили второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.
Корень каждого из уравнений: $x = -21 / 3 \implies x = -7$.
Ответ: да, уравнения равносильны.

г) $3x = -21$ и $x = -7$
В первом уравнении $3x = -21$, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $3$.
$x = \frac{-21}{3}$
$x = -7$
Деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число является равносильным преобразованием. В результате мы получили второе уравнение. Значит, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

д) $8x + 21 = 5x$ и $x = -7$
Решим первое уравнение $8x + 21 = 5x$.
$8x - 5x = -21$
$3x = -21$
$x = -7$
Решением первого уравнения является $x = -7$. Второе уравнение — это и есть $x = -7$.
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (состоят из единственного числа $-7$), уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

276*. Запишите линейное уравнение, равносильное данному, и найдите его корень:

a) $x^2 + 5x - 3x - x^2 = 12;$

б) $x^2 + 11x + x - x^2 = x;$

в) $(x - 2)(x + 1) = x^2 - 3;$

г) $(x - 3)(x + 1) = x^2 + 8;$

д) $(x - 1)(x - 2) = (x - 3)(x - 4);$

е) $(x - 2)(x + 3) = (x + 4)(x - 5).$

а) Исходное уравнение: $x^2 + 5x - 3x - x^2 = 12$.
Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые: $(x^2 - x^2) + (5x - 3x) = 12$.
Получаем равносильное линейное уравнение: $2x = 12$.
Чтобы найти корень, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$.
Ответ: 6

б) Исходное уравнение: $x^2 + 11x + x - x^2 = x$.
Упростим левую часть: $(x^2 - x^2) + (11x + x) = x$.
$12x = x$.
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, чтобы получить равносильное линейное уравнение:
$12x - x = 0$
$11x = 0$.
Найдем корень: $x = \frac{0}{11}$.
$x = 0$.
Ответ: 0

в) Исходное уравнение: $(x - 2)(x + 1) = x^2 - 3$.
Раскроем скобки в левой части уравнения: $x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - 3$.
Приведем подобные слагаемые в левой части: $x^2 - x - 2 = x^2 - 3$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения, чтобы получить равносильное линейное уравнение:
$-x - 2 = -3$.
Перенесем свободные члены в правую часть: $-x = -3 + 2$.
$-x = -1$.
Умножим обе части на -1, чтобы найти корень: $x = 1$.
Ответ: 1

г) Исходное уравнение: $(x - 3)(x + 1) = x^2 + 8$.
Раскроем скобки в левой части: $x^2 + x - 3x - 3 = x^2 + 8$.
Приведем подобные слагаемые в левой части: $x^2 - 2x - 3 = x^2 + 8$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения. Получим равносильное линейное уравнение:
$-2x - 3 = 8$.
Перенесем -3 в правую часть: $-2x = 8 + 3$.
$-2x = 11$.
Найдем корень, разделив обе части на -2: $x = \frac{11}{-2}$.
$x = -5.5$.
Ответ: -5.5

д) Исходное уравнение: $(x - 1)(x - 2) = (x - 3)(x - 4)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Левая часть: $x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.
Правая часть: $x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - 3x + 2 = x^2 - 7x + 12$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей. Получим равносильное линейное уравнение:
$-3x + 2 = -7x + 12$.
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а свободные члены вправо:
$-3x + 7x = 12 - 2$
$4x = 10$.
Найдем корень: $x = \frac{10}{4}$.
$x = 2.5$.
Ответ: 2.5

е) Исходное уравнение: $(x - 2)(x + 3) = (x + 4)(x - 5)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Левая часть: $x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.
Правая часть: $x^2 - 5x + 4x - 20 = x^2 - x - 20$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + x - 6 = x^2 - x - 20$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей. Получим равносильное линейное уравнение:
$x - 6 = -x - 20$.
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а свободные члены вправо:
$x + x = -20 + 6$
$2x = -14$.
Найдем корень: $x = \frac{-14}{2}$.
$x = -7$.
Ответ: -7