Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

45*. Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

$x = 0,0(7),$

$x = 0,0777...$

$10x = 0,777...$

$100x = 7,777...$

$100x - 10x = 7,$

$90x = 7,$

$x = \frac{7}{90};$

$x = 0,5(7),$

$x = 0,5777...$

$10x = 5,777...$

$100x = 57,777...$

$100x - 10x = 52,$

$90x = 52,$

$x = \frac{52}{90}$

a) $x = 0,0(25);$

б) $x = 0,00(5);$

в) $x = 0,12(4);$

г) $x = 0,1(24).$

а) $x = 0,0(25)$

Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $x = 0,0252525...$

Чтобы избавиться от периодической части, нам нужно составить два уравнения, вычитание которых уберет бесконечный "хвост" дроби. Сначала умножим $x$ на такое число, чтобы запятая оказалась сразу перед периодом. Непериодическая часть '0' состоит из одной цифры, поэтому умножим на 10.

$10x = 0,252525...$

Теперь умножим $x$ на такое число, чтобы запятая сдвинулась вправо ровно на один период. Период '25' состоит из двух цифр, а перед ним одна непериодическая цифра '0'. Значит, нужно сдвинуть запятую на $1+2=3$ знака. Умножим $x$ на 1000.

$1000x = 25,252525...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы дробные части взаимно уничтожились:

$1000x - 10x = 25,252525... - 0,252525...$

$990x = 25$

Найдем $x$:

$x = \frac{25}{990}$

Сократим полученную дробь на 5:

$x = \frac{25 \div 5}{990 \div 5} = \frac{5}{198}$

Ответ: $\frac{5}{198}$

б) $x = 0,00(5)$

Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $x = 0,00555...$

Умножим $x$ на 100, чтобы запятая оказалась сразу перед периодом. Непериодическая часть '00' состоит из двух цифр.

$100x = 0,555...$

Теперь умножим $x$ на 1000, чтобы запятая сдвинулась вправо ровно на один период. Период '5' состоит из одной цифры, а перед ним две цифры '00'. Значит, нужно сдвинуть запятую на $2+1=3$ знака.

$1000x = 5,555...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 100x = 5,555... - 0,555...$

$900x = 5$

Найдем $x$:

$x = \frac{5}{900}$

Сократим дробь на 5:

$x = \frac{5 \div 5}{900 \div 5} = \frac{1}{180}$

Ответ: $\frac{1}{180}$

в) $x = 0,12(4)$

Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $x = 0,12444...$

Умножим $x$ на 100, чтобы запятая оказалась сразу перед периодом. Непериодическая часть '12' состоит из двух цифр.

$100x = 12,444...$

Теперь умножим $x$ на 1000, чтобы запятая сдвинулась вправо ровно на один период. Период '4' состоит из одной цифры, а перед ним две цифры '12'. Значит, нужно сдвинуть запятую на $2+1=3$ знака.

$1000x = 124,444...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 100x = 124,444... - 12,444...$

$900x = 112$

Найдем $x$:

$x = \frac{112}{900}$

Сократим дробь на 4:

$x = \frac{112 \div 4}{900 \div 4} = \frac{28}{225}$

Ответ: $\frac{28}{225}$

г) $x = 0,1(24)$

Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $x = 0,1242424...$

Умножим $x$ на 10, чтобы запятая оказалась сразу перед периодом. Непериодическая часть '1' состоит из одной цифры.

$10x = 1,242424...$

Теперь умножим $x$ на 1000, чтобы запятая сдвинулась вправо ровно на один период. Период '24' состоит из двух цифр, а перед ним одна цифра '1'. Значит, нужно сдвинуть запятую на $1+2=3$ знака.

$1000x = 124,242424...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 10x = 124,242424... - 1,242424...$

$990x = 123$

Найдем $x$:

$x = \frac{123}{990}$

Сократим дробь на 3, так как сумма цифр числителя ($1+2+3=6$) и знаменателя ($9+9+0=18$) делится на 3:

$x = \frac{123 \div 3}{990 \div 3} = \frac{41}{330}$

Ответ: $\frac{41}{330}$

256. Вычислите:

а) $ (1,25)^3 \cdot 8^3 = (1,25 \cdot 8)^3 = ... $

б) $ (0,25)^5 \cdot 4^5 = ... $

в) $ (0,125)^{100} \cdot 8^{100} = ... $

г) $ 25^{2017} \cdot (-0,04)^{2017} = ... $

а) Для вычисления выражения $(1,25)^3 \cdot 8^3$ используется свойство степени произведения, которое гласит, что для любых чисел $a$, $b$ и натурального числа $n$ справедливо равенство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Применим это свойство к данному выражению:

$(1,25)^3 \cdot 8^3 = (1,25 \cdot 8)^3$

Сначала выполним умножение в скобках:

$1,25 \cdot 8 = 10$

Теперь возведем полученное число в третью степень:

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Ответ: $1000$

б) Для вычисления выражения $(0,25)^5 \cdot 4^5$ применим то же свойство степени произведения.

$(0,25)^5 \cdot 4^5 = (0,25 \cdot 4)^5$

Выполним умножение в скобках. Десятичную дробь $0,25$ можно представить как обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$:

$0,25 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

Возведем результат в пятую степень:

$1^5 = 1$

Ответ: $1$

в) Для вычисления $(0,125)^{100} \cdot 8^{100}$ снова воспользуемся свойством степени произведения.

$(0,125)^{100} \cdot 8^{100} = (0,125 \cdot 8)^{100}$

Вычислим произведение в скобках. Десятичная дробь $0,125$ равна обыкновенной дроби $\frac{1}{8}$:

$0,125 \cdot 8 = \frac{1}{8} \cdot 8 = 1$

Теперь возведем $1$ в сотую степень:

$1^{100} = 1$

Ответ: $1$

г) Для вычисления $25^{2017} \cdot (-0,04)^{2017}$ используем свойство степени произведения.

$25^{2017} \cdot (-0,04)^{2017} = (25 \cdot (-0,04))^{2017}$

Вычислим произведение в скобках. Десятичная дробь $0,04$ равна $\frac{4}{100}$ или $\frac{1}{25}$:

$25 \cdot (-0,04) = -(25 \cdot 0,04) = -(25 \cdot \frac{1}{25}) = -1$

Теперь необходимо возвести $-1$ в степень $2017$:

$(-1)^{2017}$

Поскольку показатель степени $2017$ является нечетным числом, то при возведении отрицательного числа в такую степень результат останется отрицательным.

$(-1)^{2017} = -1$

Ответ: $-1$

257. Вычислите:

$(0,4)^{-2} \cdot (0,25)^{-2} = (0,4 \cdot 0,25)^{-2} = (0,1)^{-2} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} = \left(\frac{10}{1}\right)^{2} = 100$

a) $(0,8)^{-3} \cdot (12,5)^{-3} = \dots$

б) $(2,5)^{-3} \cdot (0,4)^{-3} = \dots$

в) $100^{-4} \cdot (-0,001)^{-4} = \dots$

а) Для вычисления выражения $(0,8)^{-3} \cdot (12,5)^{-3}$ воспользуемся свойством степени произведения, которое гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$(0,8)^{-3} \cdot (12,5)^{-3} = (0,8 \cdot 12,5)^{-3}$
Сначала вычислим произведение в скобках:
$0,8 \cdot 12,5 = 10$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:
$(10)^{-3}$
Далее используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$
Ответ: $0,001$

б) Для вычисления выражения $(2,5)^{-3} \cdot (0,4)^{-3}$ также применим свойство степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$(2,5)^{-3} \cdot (0,4)^{-3} = (2,5 \cdot 0,4)^{-3}$
Вычислим произведение в скобках:
$2,5 \cdot 0,4 = 1$
Подставим результат в выражение:
$(1)^{-3}$
Любая степень единицы равна самой единице.
$1^{-3} = \frac{1}{1^3} = \frac{1}{1} = 1$
Ответ: $1$

в) Для вычисления выражения $100^{-4} \cdot (-0,001)^{-4}$ снова используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$100^{-4} \cdot (-0,001)^{-4} = (100 \cdot (-0,001))^{-4}$
Вычислим произведение в скобках:
$100 \cdot (-0,001) = -0,1$
Подставим результат в выражение:
$(-0,1)^{-4}$
Представим десятичную дробь $-0,1$ в виде обыкновенной дроби: $-0,1 = -\frac{1}{10}$.
$(-\frac{1}{10})^{-4}$
Применим свойство степени с отрицательным показателем для дробей: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(-\frac{1}{10})^{-4} = (-\frac{10}{1})^4 = (-10)^4$
Так как показатель степени (4) является четным числом, то результат возведения отрицательного числа в эту степень будет положительным.
$(-10)^4 = 10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
Ответ: $10000$

258. Найдите значение выражения:

a) $\frac{25^{-3}}{(12,5)^{-3}} = \left(\frac{25}{12,5}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{1}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = $

б) $\frac{(13,5)^{-3}}{27^{-3}} = $

в) $\frac{13^{-2}}{(6,5)^{-2}} = $

г) $\frac{(8,5)^{-3}}{17^{-3}} = $

а) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством степени частного: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{25^{-3}}{(12,5)^{-3}} = (\frac{25}{12,5})^{-3}$

Далее упростим дробь, находящуюся в скобках. Поскольку $12,5$ ровно в два раза меньше, чем $25$, получаем:

$\frac{25}{12,5} = 2$

Теперь выражение принимает вид: $2^{-3}$.

Чтобы вычислить значение, используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Применим то же свойство степени, что и в предыдущем задании: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{(13,5)^{-3}}{27^{-3}} = (\frac{13,5}{27})^{-3}$

Упростим дробь в скобках. Так как $13,5 \cdot 2 = 27$, то:

$\frac{13,5}{27} = \frac{1}{2}$

Выражение теперь выглядит так: $(\frac{1}{2})^{-3}$.

Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, чтобы избавиться от отрицательного показателя.

$(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$.

Ответ: $8$.

в) Снова используем свойство степени частного: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{13^{-2}}{(6,5)^{-2}} = (\frac{13}{6,5})^{-2}$

Упростим дробь в скобках. Так как $6,5 \cdot 2 = 13$, получаем:

$\frac{13}{6,5} = 2$

Получаем выражение: $2^{-2}$.

Применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Для решения этого примера воспользуемся тем же свойством: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{(8,5)^{-3}}{17^{-3}} = (\frac{8,5}{17})^{-3}$

Упростим дробь в скобках. Так как $8,5 \cdot 2 = 17$, то:

$\frac{8,5}{17} = \frac{1}{2}$

Выражение принимает вид: $(\frac{1}{2})^{-3}$.

Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$.

Ответ: $8$.

259. Запишите число в стандартном виде:

$2018 = 2,018 \cdot 10^3;$

$0,0123 = 1,23 \cdot 10^{-2}$

а) $31 419 = \ldots$

б) $101 010 = \ldots$

в) $0,00987 = \ldots$

г) $0,000555 = \ldots$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

Чтобы представить число в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения, где первый множитель — это число от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а второй — степень числа 10.

а) Чтобы записать число 31 419 в стандартном виде, мы должны представить его как произведение числа из промежутка $[1; 10)$ и степени 10.
Для этого поставим запятую после первой значащей цифры, то есть после 3. Получим число 3,1419.
Исходное число 31 419 больше, чем 3,1419. Чтобы найти, во сколько раз, нужно перенести запятую в числе 3,1419 вправо до тех пор, пока не получится 31 419. Запятую нужно перенести на 4 знака вправо, что соответствует умножению на $10^4$.
Следовательно, $31419 = 3,1419 \cdot 10^4$.
Ответ: $3,1419 \cdot 10^4$.

б) Чтобы записать число 101 010 в стандартном виде, поставим запятую после первой значащей цифры (1), чтобы получить число в диапазоне от 1 до 10. Получаем 1,0101.
Чтобы получить из 1,0101 исходное число 101 010, нужно перенести запятую на 5 знаков вправо, что соответствует умножению на $10^5$.
Следовательно, $101010 = 1,0101 \cdot 10^5$.
Ответ: $1,0101 \cdot 10^5$.

в) Чтобы записать число 0,00987 в стандартном виде, нужно перенести запятую так, чтобы перед ней была одна значащая цифра. Переносим запятую после цифры 9, получаем 9,87.
Исходное число 0,00987 меньше, чем 9,87. Чтобы из 9,87 получить 0,00987, нужно перенести запятую на 3 знака влево, что соответствует делению на 1000, или умножению на $10^{-3}$.
Следовательно, $0,00987 = 9,87 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: $9,87 \cdot 10^{-3}$.

г) Чтобы записать число 0,000555 в стандартном виде, перенесем запятую после первой значащей цифры (5). Получаем 5,55.
Чтобы из 5,55 получить исходное число 0,000555, нужно перенести запятую на 4 знака влево, что соответствует умножению на $10^{-4}$.
Следовательно, $0,000555 = 5,55 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: $5,55 \cdot 10^{-4}$.