Страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

38. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной несократимой дроби. Выпишите простые делители знаменателя полученной дроби:

$0,48 = \frac{48}{100} = \frac{12}{25}$, 5

а) $0,06 = \dots$

б) $0,75 = \dots$

в) $0,222 = \dots$

г) $2,22 = \dots$

д) $1,25 = \dots$

а) Чтобы преобразовать десятичную дробь 0,06 в обыкновенную, запишем ее со знаменателем 100, так как в дробной части две цифры:
$ 0,06 = \frac{6}{100} $
Теперь сократим эту дробь. Наибольший общий делитель (НОД) для 6 и 100 равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{6 \div 2}{100 \div 2} = \frac{3}{50} $
Дробь $ \frac{3}{50} $ является несократимой.
Знаменатель полученной дроби равен 50. Найдем его простые делители, разложив число 50 на простые множители:
$ 50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2 $
Простые делители знаменателя: 2, 5.
Ответ: $ \frac{3}{50} $; 2, 5

б) Представим десятичную дробь 0,75 в виде обыкновенной дроби со знаменателем 100:
$ 0,75 = \frac{75}{100} $
Сократим дробь. НОД для 75 и 100 равен 25. Разделим числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4} $
Дробь $ \frac{3}{4} $ является несократимой.
Знаменатель равен 4. Разложим его на простые множители:
$ 4 = 2 \cdot 2 = 2^2 $
Единственный простой делитель знаменателя: 2.
Ответ: $ \frac{3}{4} $; 2

в) Чтобы преобразовать десятичную дробь 0,222 в обыкновенную, запишем ее со знаменателем 1000, так как в дробной части три цифры:
$ 0,222 = \frac{222}{1000} $
Сократим эту дробь. НОД для 222 и 1000 равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{222 \div 2}{1000 \div 2} = \frac{111}{500} $
Разложим числитель и знаменатель на простые множители, чтобы убедиться, что дробь несократима: $ 111 = 3 \cdot 37 $; $ 500 = 2^2 \cdot 5^3 $. Общих множителей нет.
Знаменатель равен 500. Его простые делители: 2, 5.
Ответ: $ \frac{111}{500} $; 2, 5

г) Представим десятичную дробь 2,22 в виде неправильной обыкновенной дроби. Целая часть равна 2, дробная 0,22, что равно $ \frac{22}{100} $. В виде неправильной дроби это будет:
$ 2,22 = \frac{222}{100} $
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД, равный 2:
$ \frac{222 \div 2}{100 \div 2} = \frac{111}{50} $
Дробь $ \frac{111}{50} $ является несократимой, так как $ 111 = 3 \cdot 37 $, а $ 50 = 2 \cdot 5^2 $.
Знаменатель равен 50. Его простые делители: 2, 5.
Ответ: $ \frac{111}{50} $; 2, 5

д) Представим десятичную дробь 1,25 в виде неправильной обыкновенной дроби:
$ 1,25 = \frac{125}{100} $
Сократим дробь. НОД для 125 и 100 равен 25:
$ \frac{125 \div 25}{100 \div 25} = \frac{5}{4} $
Дробь $ \frac{5}{4} $ является несократимой.
Знаменатель равен 4. Разложим его на простые множители: $ 4 = 2^2 $.
Единственный простой делитель знаменателя: 2.
Ответ: $ \frac{5}{4} $; 2

39. Запишите обыкновенную несократимую дробь в виде десятичной дроби:

$ \frac{13}{25} = \frac{13}{5 \cdot 5} = \frac{13 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{54}{10^2} = 0,54 $

a) $ \frac{7}{20} = \dots $

б) $ \frac{5}{4} = \dots $

в) $ \frac{1}{8} = \dots $

a)

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь $ \frac{7}{20} $ в десятичную, нужно привести её знаменатель к степени числа 10 (например, 10, 100, 1000).
Разложим знаменатель 20 на простые множители: $ 20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 $.
Для того чтобы получить в знаменателе степень десяти, количество множителей 2 и 5 должно быть одинаковым. Сейчас у нас две двойки и одна пятерка. Следовательно, нам не хватает еще одной пятерки.
Умножим числитель и знаменатель дроби на 5:
$ \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} $.
Теперь можно записать эту дробь в виде десятичной:
$ \frac{35}{100} = 0,35 $.
Ответ: 0,35

б)

Преобразуем дробь $ \frac{5}{4} $ в десятичную. Это неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя, поэтому десятичная дробь будет больше 1.
Разложим знаменатель 4 на простые множители: $ 4 = 2 \cdot 2 = 2^2 $.
Чтобы в знаменателе получилась степень десяти, нам нужно добавить два множителя 5, чтобы уравнять количество двоек. Значит, нужно умножить числитель и знаменатель на $ 5 \cdot 5 = 25 $.
$ \frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{125}{100} $.
Запишем результат в виде десятичной дроби:
$ \frac{125}{100} = 1,25 $.
Ответ: 1,25

в)

Рассмотрим дробь $ \frac{1}{8} $. Преобразуем её в десятичную.
Разложим знаменатель 8 на простые множители: $ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 $.
Чтобы получить в знаменателе степень десяти, нам необходимо три множителя 5, чтобы их количество совпадало с количеством двоек. Умножим числитель и знаменатель на $ 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $.
$ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} $.
Запишем полученную дробь в виде десятичной:
$ \frac{125}{1000} = 0,125 $.
Ответ: 0,125

40. Объясните, почему обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь:

$ \frac{22}{30} = \frac{11}{15} $ — дробь несократимая, знаменатель имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5.

a) $ \frac{14}{49} $ = ....................

б) $ \frac{15}{33} $ = ....................

в) $ \frac{12}{26} $ = ....................

Обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь, если после ее сокращения до несократимого вида в разложении ее знаменателя на простые множители встречаются числа, отличные от 2 и 5. Следуя этому правилу, проанализируем каждую дробь.

а) $\frac{14}{49}$
Сначала сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 7:
$\frac{14}{49} = \frac{14 \div 7}{49 \div 7} = \frac{2}{7}$.
Получили несократимую дробь. Знаменатель этой дроби, 7, является простым числом, отличным от 2 и 5. Следовательно, дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной.
Ответ: дробь $\frac{14}{49}$ не разлагается в конечную десятичную, так как ее несократимая форма $\frac{2}{7}$ имеет в знаменателе простой делитель 7, отличный от 2 и 5.

б) $\frac{15}{33}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:
$\frac{15}{33} = \frac{15 \div 3}{33 \div 3} = \frac{5}{11}$.
Получили несократимую дробь. Знаменатель этой дроби, 11, является простым числом, отличным от 2 и 5. Следовательно, дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной.
Ответ: дробь $\frac{15}{33}$ не разлагается в конечную десятичную, так как ее несократимая форма $\frac{5}{11}$ имеет в знаменателе простой делитель 11, отличный от 2 и 5.

в) $\frac{12}{26}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:
$\frac{12}{26} = \frac{12 \div 2}{26 \div 2} = \frac{6}{13}$.
Получили несократимую дробь. Знаменатель этой дроби, 13, является простым числом, отличным от 2 и 5. Следовательно, дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной.
Ответ: дробь $\frac{12}{26}$ не разлагается в конечную десятичную, так как ее несократимая форма $\frac{6}{13}$ имеет в знаменателе простой делитель 13, отличный от 2 и 5.

247. Докажите тождество:

a) $(\frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}) \cdot \frac{x^3 + 1}{2} = \frac{x + 1}{1 - x};$

Доказательство.

б) $(\frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} - \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}) : \frac{8}{2 - x} = \frac{2}{x + 2}.$

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель для дробей в скобках: $(x^2 - x + 1)(x - 1)$.

$ \left( \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1} \right) = \frac{(x^2 + x + 1)(x - 1) - (x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} $

2. Применим формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражениям в числителе.

$ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 $

$ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1 $

Подставим полученные выражения обратно в числитель дроби:

$ \frac{(x^3 - 1) - (x^3 + 1)}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} = \frac{x^3 - 1 - x^3 - 1}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} = \frac{-2}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} $

3. Теперь умножим результат на дробь $ \frac{x^3 + 1}{2} $. Разложим $x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов.

$ \frac{-2}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} \cdot \frac{x^3 + 1}{2} = \frac{-2}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} \cdot \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{2} $

4. Сократим общие множители $2$ и $(x^2 - x + 1)$ в числителе и знаменателе.

$ \frac{-1 \cdot (x + 1)}{x - 1} = \frac{-(x + 1)}{x - 1} $

5. Чтобы получить выражение, стоящее в правой части тождества, вынесем знак "-" в знаменателе за скобки.

$ \frac{-(x + 1)}{-(1 - x)} = \frac{x + 1}{1 - x} $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним вычитание дробей в скобках.

1. Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2)$.

$ \left( \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} - \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2} \right) = \frac{(x^2 + 2x + 4)(x - 2) - (x^2 - 2x + 4)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} $

2. В числителе узнаем формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8 $

$ (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8 $

Подставим эти выражения в числитель:

$ \frac{(x^3 - 8) - (x^3 + 8)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x^3 - 8 - x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{-16}{x^2 - 4} $

3. Теперь выполним деление полученной дроби на $ \frac{8}{2 - x} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{-16}{x^2 - 4} : \frac{8}{2 - x} = \frac{-16}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{2 - x}{8} $

4. Заметим, что $2 - x = -(x - 2)$, и подставим это в выражение, чтобы сократить дробь.

$ \frac{-16}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{-(x - 2)}{8} $

Сокращаем числитель и знаменатель на $8$ и на $(x-2)$:

$ \frac{-2}{x + 2} \cdot (-1) = \frac{2}{x + 2} $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

248. Докажите тождество:

а) $(1 + \frac{1}{x}) \cdot (1 + \frac{1}{x+1}) \cdot (1 + \frac{1}{x+2}) = 1 + \frac{3}{x};$

б) $(1 - \frac{1}{x}) \cdot (1 - \frac{1}{x+1}) \cdot (1 - \frac{1}{x+2}) = 1 - \frac{3}{x};$

в) $(1 + \frac{1}{x-1}) \cdot (1 + \frac{1}{x-2}) \cdot (1 + \frac{1}{x-3}) = 1 + \frac{3}{x-3};$

г) $(1 - \frac{1}{x-1}) \cdot (1 - \frac{1}{x-2}) \cdot (1 - \frac{1}{x-3}) = 1 - \frac{3}{x-1}.$

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части к одному виду.

Сначала преобразуем левую часть. Приведем каждое выражение в скобках к общему знаменателю:

$1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$

$1 + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+2}{x+1}$

$1 + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+3}{x+2}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(1 + \frac{1}{x}) \cdot (1 + \frac{1}{x+1}) \cdot (1 + \frac{1}{x+2}) = \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x+2}{x+1} \cdot \frac{x+3}{x+2}$

Сократим общие множители в числителях и знаменателях:

$\frac{\cancel{x+1}}{x} \cdot \frac{\cancel{x+2}}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{x+3}{\cancel{x+2}} = \frac{x+3}{x}$

Теперь преобразуем правую часть тождества:

$1 + \frac{3}{x} = \frac{x}{x} + \frac{3}{x} = \frac{x+3}{x}$

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: После преобразований левая часть равна $\frac{x+3}{x}$ и правая часть равна $\frac{x+3}{x}$, что доказывает тождество.

б)

Проверим данное равенство, преобразовав его левую и правую части.

Преобразуем левую часть. Приведем выражения в скобках к общему знаменателю и перемножим их:

$(1 - \frac{1}{x}) \cdot (1 - \frac{1}{x+1}) \cdot (1 - \frac{1}{x+2}) = (\frac{x-1}{x}) \cdot (\frac{x+1-1}{x+1}) \cdot (\frac{x+2-1}{x+2})$

$= \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x+2} = \frac{x-1}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{x+2} = \frac{x-1}{x+2}$

Теперь преобразуем правую часть:

$1 - \frac{3}{x} = \frac{x-3}{x}$

Сравнивая полученные выражения $\frac{x-1}{x+2}$ и $\frac{x-3}{x}$, мы видим, что они не равны тождественно. Например, при $x=1$ левая часть равна $0$, а правая равна $-2$. Следовательно, исходное равенство не является тождеством.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Тождество было бы верным, если бы правая часть была равна $1 - \frac{3}{x+2}$, так как $1 - \frac{3}{x+2} = \frac{x+2-3}{x+2} = \frac{x-1}{x+2}$.

Ответ: Данное равенство не является тождеством, так как его левая часть тождественно равна $\frac{x-1}{x+2}$, а правая — $\frac{x-3}{x}$.

в)

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.

Преобразуем левую часть, приводя выражения в скобках к общему знаменателю и перемножая их:

$(1 + \frac{1}{x-1}) \cdot (1 + \frac{1}{x-2}) \cdot (1 + \frac{1}{x-3}) = (\frac{x-1+1}{x-1}) \cdot (\frac{x-2+1}{x-2}) \cdot (\frac{x-3+1}{x-3})$

$= \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x-3} = \frac{x}{\cancel{x-1}} \cdot \frac{\cancel{x-1}}{\cancel{x-2}} \cdot \frac{\cancel{x-2}}{x-3} = \frac{x}{x-3}$

Теперь преобразуем правую часть:

$1 + \frac{3}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{3}{x-3} = \frac{x-3+3}{x-3} = \frac{x}{x-3}$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: После преобразований левая часть равна $\frac{x}{x-3}$ и правая часть равна $\frac{x}{x-3}$, что доказывает тождество.

г)

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.

Преобразуем левую часть, приводя выражения в скобках к общему знаменателю и перемножая их:

$(1 - \frac{1}{x-1}) \cdot (1 - \frac{1}{x-2}) \cdot (1 - \frac{1}{x-3}) = (\frac{x-1-1}{x-1}) \cdot (\frac{x-2-1}{x-2}) \cdot (\frac{x-3-1}{x-3})$

$= \frac{x-2}{x-1} \cdot \frac{x-3}{x-2} \cdot \frac{x-4}{x-3} = \frac{\cancel{x-2}}{x-1} \cdot \frac{\cancel{x-3}}{\cancel{x-2}} \cdot \frac{x-4}{\cancel{x-3}} = \frac{x-4}{x-1}$

Теперь преобразуем правую часть:

$1 - \frac{3}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} - \frac{3}{x-1} = \frac{x-1-3}{x-1} = \frac{x-4}{x-1}$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: После преобразований левая часть равна $\frac{x-4}{x-1}$ и правая часть равна $\frac{x-4}{x-1}$, что доказывает тождество.