Номер 248, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 248, страница 18.

Условие.

248. Докажите тождество:

а) $(1 + \frac{1}{x}) \cdot (1 + \frac{1}{x+1}) \cdot (1 + \frac{1}{x+2}) = 1 + \frac{3}{x};$

б) $(1 - \frac{1}{x}) \cdot (1 - \frac{1}{x+1}) \cdot (1 - \frac{1}{x+2}) = 1 - \frac{3}{x};$

в) $(1 + \frac{1}{x-1}) \cdot (1 + \frac{1}{x-2}) \cdot (1 + \frac{1}{x-3}) = 1 + \frac{3}{x-3};$

г) $(1 - \frac{1}{x-1}) \cdot (1 - \frac{1}{x-2}) \cdot (1 - \frac{1}{x-3}) = 1 - \frac{3}{x-1}.$

Решение.

Решение 2.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части к одному виду.

Сначала преобразуем левую часть. Приведем каждое выражение в скобках к общему знаменателю:

$1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$

$1 + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+2}{x+1}$

$1 + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+3}{x+2}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(1 + \frac{1}{x}) \cdot (1 + \frac{1}{x+1}) \cdot (1 + \frac{1}{x+2}) = \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x+2}{x+1} \cdot \frac{x+3}{x+2}$

Сократим общие множители в числителях и знаменателях:

$\frac{\cancel{x+1}}{x} \cdot \frac{\cancel{x+2}}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{x+3}{\cancel{x+2}} = \frac{x+3}{x}$

Теперь преобразуем правую часть тождества:

$1 + \frac{3}{x} = \frac{x}{x} + \frac{3}{x} = \frac{x+3}{x}$

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: После преобразований левая часть равна $\frac{x+3}{x}$ и правая часть равна $\frac{x+3}{x}$, что доказывает тождество.

б)

Проверим данное равенство, преобразовав его левую и правую части.

Преобразуем левую часть. Приведем выражения в скобках к общему знаменателю и перемножим их:

$(1 - \frac{1}{x}) \cdot (1 - \frac{1}{x+1}) \cdot (1 - \frac{1}{x+2}) = (\frac{x-1}{x}) \cdot (\frac{x+1-1}{x+1}) \cdot (\frac{x+2-1}{x+2})$

$= \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x+2} = \frac{x-1}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{x+2} = \frac{x-1}{x+2}$

Теперь преобразуем правую часть:

$1 - \frac{3}{x} = \frac{x-3}{x}$

Сравнивая полученные выражения $\frac{x-1}{x+2}$ и $\frac{x-3}{x}$, мы видим, что они не равны тождественно. Например, при $x=1$ левая часть равна $0$, а правая равна $-2$. Следовательно, исходное равенство не является тождеством.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Тождество было бы верным, если бы правая часть была равна $1 - \frac{3}{x+2}$, так как $1 - \frac{3}{x+2} = \frac{x+2-3}{x+2} = \frac{x-1}{x+2}$.

Ответ: Данное равенство не является тождеством, так как его левая часть тождественно равна $\frac{x-1}{x+2}$, а правая — $\frac{x-3}{x}$.

в)

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.

Преобразуем левую часть, приводя выражения в скобках к общему знаменателю и перемножая их:

$(1 + \frac{1}{x-1}) \cdot (1 + \frac{1}{x-2}) \cdot (1 + \frac{1}{x-3}) = (\frac{x-1+1}{x-1}) \cdot (\frac{x-2+1}{x-2}) \cdot (\frac{x-3+1}{x-3})$

$= \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x-3} = \frac{x}{\cancel{x-1}} \cdot \frac{\cancel{x-1}}{\cancel{x-2}} \cdot \frac{\cancel{x-2}}{x-3} = \frac{x}{x-3}$

Теперь преобразуем правую часть:

$1 + \frac{3}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{3}{x-3} = \frac{x-3+3}{x-3} = \frac{x}{x-3}$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: После преобразований левая часть равна $\frac{x}{x-3}$ и правая часть равна $\frac{x}{x-3}$, что доказывает тождество.

г)

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.

Преобразуем левую часть, приводя выражения в скобках к общему знаменателю и перемножая их:

$(1 - \frac{1}{x-1}) \cdot (1 - \frac{1}{x-2}) \cdot (1 - \frac{1}{x-3}) = (\frac{x-1-1}{x-1}) \cdot (\frac{x-2-1}{x-2}) \cdot (\frac{x-3-1}{x-3})$

$= \frac{x-2}{x-1} \cdot \frac{x-3}{x-2} \cdot \frac{x-4}{x-3} = \frac{\cancel{x-2}}{x-1} \cdot \frac{\cancel{x-3}}{\cancel{x-2}} \cdot \frac{x-4}{\cancel{x-3}} = \frac{x-4}{x-1}$

Теперь преобразуем правую часть:

$1 - \frac{3}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} - \frac{3}{x-1} = \frac{x-1-3}{x-1} = \frac{x-4}{x-1}$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: После преобразований левая часть равна $\frac{x-4}{x-1}$ и правая часть равна $\frac{x-4}{x-1}$, что доказывает тождество.