Номер 244, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 244, страница 15.

Условие.

244. Найдите значение рационального выражения:

а) если $a = -2,7, b = -7,3$, то $\left( \frac{(a - b)^2}{a} + 4b \right) \cdot \frac{3a}{25} = \dots$

б) если $a = 5\frac{4}{7}, b = 4\frac{3}{7}$, то $\frac{a^2 - b^2}{2ab} : \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) = \dots$

в) если $a = 13\frac{1}{17}, b = 11\frac{1}{17}$, то $\left( \frac{(a + b)^2}{b} - 4a \right) : \frac{1}{2b} = \dots$

г) если $a = 3\frac{1}{13}, b = 4\frac{3}{13}$, то $\frac{a^2 - 16b^2}{4ab} : \left( \frac{1}{4b} - \frac{1}{a} \right) = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) Сначала упростим данное выражение. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $a$:

$\Big(\dfrac{(a - b)^2}{a} + 4b\Big) \cdot \dfrac{3a}{25} = \dfrac{(a - b)^2 + 4ab}{a} \cdot \dfrac{3a}{25}$

Раскроем квадрат разности в числителе первой дроби и упростим его:

$(a - b)^2 + 4ab = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в выражение:

$\dfrac{(a + b)^2}{a} \cdot \dfrac{3a}{25}$

Сократим $a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$):

$\dfrac{(a + b)^2}{\cancel{a}} \cdot \dfrac{3\cancel{a}}{25} = \dfrac{3(a + b)^2}{25}$

Теперь подставим числовые значения $a = -2,7$ и $b = -7,3$:

$a + b = -2,7 + (-7,3) = -10$

$\dfrac{3(-10)^2}{25} = \dfrac{3 \cdot 100}{25} = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12

б) Сначала упростим данное выражение. Начнем с выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$:

$\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - b}{ab}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\dfrac{a^2 - b^2}{2ab} : \dfrac{a - b}{ab}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\dfrac{a^2 - b^2}{2ab} \cdot \dfrac{ab}{a - b}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\dfrac{(a - b)(a + b)}{2ab} \cdot \dfrac{ab}{a - b}$

Сократим одинаковые множители $(a-b)$ и $ab$ (при условии, что $a \neq b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$):

$\dfrac{\cancel{(a - b)}(a + b)}{2\cancel{ab}} \cdot \dfrac{\cancel{ab}}{\cancel{a - b}} = \dfrac{a + b}{2}$

Теперь подставим числовые значения $a = 5\dfrac{4}{7}$ и $b = 4\dfrac{3}{7}$:

$a + b = 5\dfrac{4}{7} + 4\dfrac{3}{7} = (5 + 4) + \Big(\dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{7}\Big) = 9 + \dfrac{7}{7} = 9 + 1 = 10$

$\dfrac{a + b}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$

Ответ: 5

в) Сначала упростим данное выражение. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $b$:

$\Big(\dfrac{(a + b)^2}{b} - 4a\Big) : \dfrac{1}{2b} = \dfrac{(a + b)^2 - 4ab}{b} : \dfrac{1}{2b}$

Раскроем квадрат суммы в числителе и упростим его:

$(a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение и заменим деление на умножение:

$\dfrac{(a - b)^2}{b} \cdot 2b$

Сократим $b$ (при условии, что $b \neq 0$):

$\dfrac{(a - b)^2}{\cancel{b}} \cdot 2\cancel{b} = 2(a - b)^2$

Теперь подставим числовые значения $a = 13\dfrac{1}{17}$ и $b = 11\dfrac{1}{17}$:

$a - b = 13\dfrac{1}{17} - 11\dfrac{1}{17} = (13 - 11) + \Big(\dfrac{1}{17} - \dfrac{1}{17}\Big) = 2 + 0 = 2$

$2(a - b)^2 = 2 \cdot (2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

Ответ: 8

г) Сначала упростим данное выражение. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $4ab$:

$\dfrac{1}{4b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - 4b}{4ab}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\dfrac{a^2 - 16b^2}{4ab} : \dfrac{a - 4b}{4ab}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\dfrac{a^2 - 16b^2}{4ab} \cdot \dfrac{4ab}{a - 4b}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - 16b^2 = (a - 4b)(a + 4b)$:

$\dfrac{(a - 4b)(a + 4b)}{4ab} \cdot \dfrac{4ab}{a - 4b}$

Сократим одинаковые множители $(a - 4b)$ и $4ab$ (при условии, что $a \neq 4b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$):

$\dfrac{\cancel{(a - 4b)}(a + 4b)}{\cancel{4ab}} \cdot \dfrac{\cancel{4ab}}{\cancel{a - 4b}} = a + 4b$

Теперь подставим числовые значения $a = 3\dfrac{1}{13}$ и $b = 4\dfrac{3}{13}$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$a = 3\dfrac{1}{13} = \dfrac{3 \cdot 13 + 1}{13} = \dfrac{40}{13}$

$b = 4\dfrac{3}{13} = \dfrac{4 \cdot 13 + 3}{13} = \dfrac{55}{13}$

Вычислим значение выражения $a + 4b$:

$a + 4b = \dfrac{40}{13} + 4 \cdot \dfrac{55}{13} = \dfrac{40}{13} + \dfrac{220}{13} = \dfrac{40 + 220}{13} = \dfrac{260}{13} = 20$

Ответ: 20