Номер 246, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 246, страница 17.

Условие.

246. Докажите тождество:

а) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4x}{x^2-1}$;

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

б) $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{-8x}{x^2-4}$;

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

в) $(1 - \frac{5}{x}) \cdot (\frac{x}{x-5} - \frac{1}{2}) = \frac{x+5}{2x}$;

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

г) $(\frac{x+1}{x-1} - \frac{x+2}{x}) : \frac{4}{x^2-x} = \frac{1}{2}$.

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$.

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{x^2-1}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{(x^2+2x+1) - (x^2-2x+1)}{x^2-1} = \frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1}$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой: $\frac{4x}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1}$.

Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть равенства. Общий знаменатель для дробей это $(x+2)(x-2) = x^2-4$.

$\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{(x-2)^2 - (x+2)^2}{x^2-4}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(x^2-4x+4) - (x^2+4x+4)}{x^2-4} = \frac{x^2-4x+4-x^2-4x-4}{x^2-4} = \frac{-8x}{x^2-4}$

Полученное выражение равно правой части исходного равенства: $\frac{-8x}{x^2-4} = \frac{-8x}{x^2-4}$.

Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества упростим левую часть, выполнив действия по порядку. Сначала выполним действия в каждой из скобок.

1. Преобразуем выражение в первой скобке:

$1 - \frac{5}{x} = \frac{x}{x} - \frac{5}{x} = \frac{x-5}{x}$

2. Преобразуем выражение во второй скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $2(x-5)$:

$\frac{x}{x-5} - \frac{1}{2} = \frac{2x}{2(x-5)} - \frac{1(x-5)}{2(x-5)} = \frac{2x - (x-5)}{2(x-5)} = \frac{2x-x+5}{2(x-5)} = \frac{x+5}{2(x-5)}$

3. Теперь перемножим полученные дроби:

$(\frac{x-5}{x}) \cdot (\frac{x+5}{2(x-5)}) = \frac{(x-5)(x+5)}{x \cdot 2(x-5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-5)$ (при условии $x \neq 5$):

$\frac{x+5}{2x}$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью тождества: $\frac{x+5}{2x} = \frac{x+5}{2x}$.

Ответ: Тождество доказано.

г) Упростим левую часть тождества, выполнив сначала вычитание в скобках, а затем деление.

1. Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель $x(x-1)$:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x+2}{x} = \frac{x(x+1)}{x(x-1)} - \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2+x - (x^2-x+2x-2)}{x(x-1)}$

$\frac{x^2+x - (x^2+x-2)}{x(x-1)} = \frac{x^2+x-x^2-x+2}{x(x-1)} = \frac{2}{x(x-1)}$

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Предварительно разложим знаменатель делителя на множители: $x^2-x = x(x-1)$.

$(\frac{2}{x(x-1)}) \div \frac{4}{x^2-x} = \frac{2}{x(x-1)} \cdot \frac{x^2-x}{4} = \frac{2}{x(x-1)} \cdot \frac{x(x-1)}{4}$

Сократим на общий множитель $x(x-1)$ (при $x \neq 0$ и $x \neq 1$) и на 2:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Результат преобразования левой части равен правой части: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Тождество доказано.