Номер 249, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 249, страница 19.

Условие.

249*. Докажите тождество:

а) $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)};$

Доказательство. Преобразуем левую часть равенства:

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) = $

$=\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \dots$

б) $\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{2}{(x+1)(x+3)}.$

Решение.

Решение 2.

a) Требуется доказать тождество: $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Этот метод основан на представлении дроби вида $ \frac{1}{A(A+1)} $ в виде разности двух более простых дробей: $ \frac{1}{A} - \frac{1}{A+1} $. Проверим это: $ \frac{1}{A} - \frac{1}{A+1} = \frac{A+1-A}{A(A+1)} = \frac{1}{A(A+1)} $.

Применим это правило к каждому слагаемому в левой части тождества:

Первое слагаемое: $ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $.

Второе слагаемое: $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $.

Теперь подставим эти выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Заметим, что $ -\frac{1}{x+1} $ и $ +\frac{1}{x+1} $ взаимно уничтожаются:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} $.

Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю $ x(x+2) $:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{1 \cdot (x+2)}{x(x+2)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+2)} = \frac{x+2-x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} $.

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности совпадающее с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Требуется доказать тождество: $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{2}{(x+1)(x+3)} $.

Докажем это тождество, используя тот же метод, что и в пункте а). Преобразуем левую часть равенства.

Разложим каждую дробь на разность двух простейших дробей:

Первое слагаемое: $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $.

Второе слагаемое: $ \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} $.

Подставим эти разложения в левую часть равенства:

$ \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right) $.

Раскрыв скобки, мы видим, что средние члены $ -\frac{1}{x+2} $ и $ +\frac{1}{x+2} $ сокращаются:

$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3} $.

Теперь приведем полученное выражение к общему знаменателю $ (x+1)(x+3) $:

$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3} = \frac{1 \cdot (x+3)}{(x+1)(x+3)} - \frac{1 \cdot (x+1)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+3)-(x+1)}{(x+1)(x+3)} $.

Упростим числитель:

$ \frac{x+3-x-1}{(x+1)(x+3)} = \frac{2}{(x+1)(x+3)} $.

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства, что и доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.