Номер 242, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 242, страница 14.

Условие.

242. Упростите выражение:

а) $\left(\frac{(x+y)^2}{xy} - 4\right) \cdot \frac{5x^2}{(x-y)^2} =$

б) $\left(\frac{(x-y)^2}{xy} + 4\right) \cdot \frac{3y^2}{(x+y)^2} =$

в) $\left(\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{2}{y} + \frac{2}{x}\right) =$

г) $\left(\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) =$

Решение.

Решение 2.

а) $\left(\frac{(x+y)^2}{xy} - 4\right) \cdot \frac{5x^2}{(x-y)^2}$

Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $xy$:

$\frac{(x+y)^2}{xy} - 4 = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{xy}$

Раскроем квадрат суммы в числителе и упростим:

$(x+y)^2 - 4xy = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = x^2 - 2xy + y^2$

Полученный числитель является полным квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(x-y)^2}{xy}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{(x-y)^2}{xy} \cdot \frac{5x^2}{(x-y)^2}$

Сократим одинаковые множители $(x-y)^2$ в числителе и знаменателе, а также $x$:

$\frac{1}{y} \cdot \frac{5x}{1} = \frac{5x}{y}$

Ответ: $\frac{5x}{y}$

---

б) $\left(\frac{(x-y)^2}{xy} + 4\right) \cdot \frac{3y^2}{(x+y)^2}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $xy$:

$\frac{(x-y)^2}{xy} + 4 = \frac{(x-y)^2 + 4xy}{xy}$

Раскроем квадрат разности в числителе и упростим:

$(x-y)^2 + 4xy = (x^2 - 2xy + y^2) + 4xy = x^2 + 2xy + y^2$

Полученный числитель является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Выражение в скобках равно $\frac{(x+y)^2}{xy}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{3y^2}{(x+y)^2}$

Сократим одинаковые множители $(x+y)^2$ в числителе и знаменателе, а также $y$:

$\frac{1}{x} \cdot \frac{3y}{1} = \frac{3y}{x}$

Ответ: $\frac{3y}{x}$

---

в) $\left(\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{2}{y} + \frac{2}{x}\right)$

Упростим первое выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x} = \frac{x^2}{xy} + \frac{2xy}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy}$

Упростим второе выражение в скобках, также приведя к общему знаменателю $xy$:

$\frac{2}{y} + \frac{2}{x} = \frac{2x}{xy} + \frac{2y}{xy} = \frac{2x+2y}{xy} = \frac{2(x+y)}{xy}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{(x+y)^2}{xy} : \frac{2(x+y)}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{xy}{2(x+y)}$

Сократим общие множители $xy$ и $(x+y)$:

$\frac{x+y}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{x+y}{2}$

Ответ: $\frac{x+y}{2}$

---

г) $\left(\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right)$

Упростим первое выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x} = \frac{x^2}{xy} - \frac{2xy}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy}$

Упростим второе выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

Числитель второго выражения является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Теперь выполним деление:

$\frac{(x-y)^2}{xy} : \frac{(x-y)(x+y)}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy} \cdot \frac{xy}{(x-y)(x+y)}$

Сократим общие множители $xy$ и $(x-y)$:

$\frac{x-y}{1} \cdot \frac{1}{x+y} = \frac{x-y}{x+y}$

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$