Номер 238, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 238, страница 12.

Условие.

238. Выполните действия:

а) $\frac{x^2 - 9}{2x + 6} : \frac{x - 3}{x + 3} = \dots$

б) $\frac{x^2 + x}{x - 7} : \frac{3x + 3}{2x - 14} = \dots$

в) $\frac{x^2 + 2x}{x^2 - x} : \frac{2x + 4}{x - 1} = \dots$

г) $\frac{x + 12}{x - 4} : \frac{3x + 36}{x^2 - 4x} = \dots$

д) $\frac{5x}{x - 1} : \frac{5x^2 + 5x}{2x - 2} = \dots$

е) $\frac{2x - 4}{2x + 5} : \frac{2x^2 - 4x}{6x + 15} = \dots$

ж) $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 2x + 1} : \frac{x + 1}{x - 1} = \dots$

з) $\frac{x + 5}{x + 3} : \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 + 6x + 9} = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{x^2 - 9}{2x + 6} : \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{x^2 - 9}{2x + 6} \cdot \frac{x + 3}{x - 3}$
Теперь разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы можно было сократить дробь. Числитель первой дроби является разностью квадратов $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель за скобки: $2x+6 = 2(x+3)$.
Подставим полученные выражения:
$\frac{(x-3)(x+3)}{2(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x-3}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}(x+3)}{2\cancel{(x+3)}\cancel{(x-3)}} = \frac{x+3}{2}$
Ответ: $\frac{x+3}{2}$

б) Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{x^2 + x}{x - 7} : \frac{3x + 3}{2x - 14} = \frac{x^2 + x}{x - 7} \cdot \frac{2x - 14}{3x + 3}$
Разложим числители и знаменатели на множители:
$x^2 + x = x(x+1)$
$2x - 14 = 2(x-7)$
$3x + 3 = 3(x+1)$
Подставим и выполним умножение и сокращение:
$\frac{x(x+1)}{x - 7} \cdot \frac{2(x-7)}{3(x+1)} = \frac{2x\cancel{(x+1)}\cancel{(x-7)}}{3\cancel{(x-7)}\cancel{(x+1)}} = \frac{2x}{3}$
Ответ: $\frac{2x}{3}$

в) Заменяем деление на умножение на обратную дробь и раскладываем на множители:
$\frac{x^2 + 2x}{x^2 - x} : \frac{2x + 4}{x - 1} = \frac{x^2 + 2x}{x^2 - x} \cdot \frac{x - 1}{2x + 4} = \frac{x(x+2)}{x(x-1)} \cdot \frac{x-1}{2(x+2)}$
Сокращаем общие множители $x$, $(x+2)$ и $(x-1)$:
$\frac{\cancel{x}\cancel{(x+2)}\cancel{(x-1)}}{\cancel{x}\cancel{(x-1)} \cdot 2\cancel{(x+2)}} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Заменяем деление на умножение и раскладываем на множители:
$\frac{x + 12}{x - 4} : \frac{3x + 36}{x^2 - 4x} = \frac{x + 12}{x - 4} \cdot \frac{x^2 - 4x}{3x + 36} = \frac{x + 12}{x - 4} \cdot \frac{x(x - 4)}{3(x + 12)}$
Сокращаем общие множители $(x+12)$ и $(x-4)$:
$\frac{\cancel{(x + 12)} \cdot x\cancel{(x - 4)}}{\cancel{(x - 4)} \cdot 3\cancel{(x + 12)}} = \frac{x}{3}$
Ответ: $\frac{x}{3}$

д) Заменяем деление на умножение и раскладываем на множители:
$\frac{5x}{x - 1} : \frac{5x^2 + 5x}{2x - 2} = \frac{5x}{x - 1} \cdot \frac{2x - 2}{5x^2 + 5x} = \frac{5x}{x - 1} \cdot \frac{2(x-1)}{5x(x+1)}$
Сокращаем общие множители $5x$ и $(x-1)$:
$\frac{\cancel{5x} \cdot 2\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x - 1)} \cdot \cancel{5x}(x+1)} = \frac{2}{x+1}$
Ответ: $\frac{2}{x+1}$

е) Заменяем деление на умножение и раскладываем на множители:
$\frac{2x - 4}{2x + 5} : \frac{2x^2 - 4x}{6x + 15} = \frac{2x - 4}{2x + 5} \cdot \frac{6x + 15}{2x^2 - 4x} = \frac{2(x-2)}{2x+5} \cdot \frac{3(2x+5)}{2x(x-2)}$
Сокращаем общие множители $2$, $(x-2)$ и $(2x+5)$:
$\frac{\cancel{2}\cancel{(x-2)} \cdot 3\cancel{(2x+5)}}{\cancel{(2x+5)} \cdot \cancel{2}x\cancel{(x-2)}} = \frac{3}{x}$
Ответ: $\frac{3}{x}$

ж) Заменяем деление на умножение. Числитель и знаменатель первой дроби являются полными квадратами: $x^2+2x+1=(x+1)^2$ и $x^2-2x+1=(x-1)^2$.
$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 2x + 1} : \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1}$
Сокращаем дроби, учитывая степени:
$\frac{(x+1)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{(x-1)}}{(x-1)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{(x+1)}} = \frac{x+1}{x-1}$
Ответ: $\frac{x+1}{x-1}$

з) Заменяем деление на умножение. Числитель и знаменатель второй дроби являются полными квадратами: $x^2+10x+25=(x+5)^2$ и $x^2+6x+9=(x+3)^2$.
$\frac{x + 5}{x + 3} : \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 + 6x + 9} = \frac{x + 5}{x + 3} \cdot \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 10x + 25} = \frac{x+5}{x+3} \cdot \frac{(x+3)^2}{(x+5)^2}$
Сокращаем дроби, учитывая степени:
$\frac{\cancel{(x+5)} \cdot (x+3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x+3)} \cdot (x+5)^{\cancel{2}}} = \frac{x+3}{x+5}$
Ответ: $\frac{x+3}{x+5}$