Номер 234, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 234, страница 10.

Условие.

234. Выполните действия:

а) $ \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x^2-1} = \frac{1 \backslash (x-1)}{x+1} + \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \dots $

б) $ \frac{3x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2} = \frac{3x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \backslash (x+2)}{x-2} = \dots $

в) $ \frac{1}{(x+3)^2} + \frac{2}{x^2-9} = \frac{1 \backslash \dots}{(x+3)^2} + \frac{2 \backslash \dots}{(x-3)(x+3)} = \dots $

$ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $

г) $ \frac{x+5}{x^2-5x} + \frac{20}{25-x^2} = \dots $

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{x+1}$ и $\frac{x}{x^2-1}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

2. Исходное выражение принимает вид:
$\frac{1}{x+1} + \frac{x}{(x-1)(x+1)}$.

3. Общий знаменатель для этих дробей — $(x-1)(x+1)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-1)$, для второй — $1$.

4. Выполним сложение:
$\frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1+x}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x-1}{x^2-1}$.

Ответ: $\frac{2x-1}{x^2-1}$.

б)

Чтобы вычесть дробь $\frac{1}{x-2}$ из дроби $\frac{3x}{x^2-4}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители:
$x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

2. Исходное выражение принимает вид:
$\frac{3x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2}$.

3. Общий знаменатель — $(x-2)(x+2)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $1$, для второй — $(x+2)$.

4. Выполним вычитание:
$\frac{3x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x - (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x-x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x-2}{x^2-4}$.

Ответ: $\frac{2x-2}{x^2-4}$.

в)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{(x+3)^2}$ и $\frac{2}{x^2-9}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители:
$x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

2. Исходное выражение принимает вид:
$\frac{1}{(x+3)^2} + \frac{2}{(x-3)(x+3)}$.

3. Наименьший общий знаменатель — это произведение всех различных множителей в их наибольшей степени: $(x-3)(x+3)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-3)$, для второй — $(x+3)$.

4. Выполним сложение:
$\frac{1 \cdot (x-3)}{(x-3)(x+3)^2} + \frac{2 \cdot (x+3)}{(x-3)(x+3)^2} = \frac{x-3+2(x+3)}{(x-3)(x+3)^2} = \frac{x-3+2x+6}{(x-3)(x+3)^2} = \frac{3x+3}{(x-3)(x+3)^2} = \frac{3(x+1)}{(x-3)(x+3)^2}$.

Ответ: $\frac{3(x+1)}{(x-3)(x+3)^2}$.

г)

Чтобы сложить дроби $\frac{x+5}{x^2-5x}$ и $\frac{20}{25-x^2}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители:
$x^2-5x = x(x-5)$
$25-x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5)$.

2. Преобразуем исходное выражение, вынеся минус из знаменателя второй дроби:
$\frac{x+5}{x(x-5)} + \frac{20}{-(x-5)(x+5)} = \frac{x+5}{x(x-5)} - \frac{20}{(x-5)(x+5)}$.

3. Наименьший общий знаменатель — $x(x-5)(x+5)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+5)$, для второй — $x$.

4. Выполним действия:
$\frac{(x+5)(x+5)}{x(x-5)(x+5)} - \frac{20 \cdot x}{x(x-5)(x+5)} = \frac{(x+5)^2 - 20x}{x(x-5)(x+5)}$.

5. Упростим числитель:
$(x+5)^2 - 20x = (x^2+10x+25) - 20x = x^2-10x+25$.

6. Числитель является полным квадратом: $x^2-10x+25 = (x-5)^2$.

7. Подставим упрощенный числитель в дробь и сократим:
$\frac{(x-5)^2}{x(x-5)(x+5)} = \frac{x-5}{x(x+5)}$.

Ответ: $\frac{x-5}{x(x+5)}$.