Номер 230, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 230, страница 7.

Условие.

230. Приведите дроби к общему знаменателю:

a) $\frac{x}{x^2 - 1}$ и $\frac{x + 1}{2x - 2}$;

.........................

.........................

б) $\frac{4}{x^2 - 1}$ и $\frac{x - 4}{3x + 3}$;

в) $\frac{x}{x^2 + 2x + 1}$ и $\frac{6}{x^2 - 1}$;

.........................

.........................

г) $\frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ и $\frac{-5}{x^2 - 1}$.

Решение.

Решение 2.

а) Даны дроби $\frac{x}{x^2 - 1}$ и $\frac{x + 1}{2x - 2}$.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (формула разности квадратов).
Знаменатель второй дроби: $2x - 2 = 2(x - 1)$ (вынесение общего множителя за скобки).

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ). НОЗ должен содержать все множители из обоих знаменателей в наибольшей степени.
Множители: $2$, $(x - 1)$, $(x + 1)$.
НОЗ = $2(x - 1)(x + 1) = 2(x^2 - 1)$.

3. Найдём дополнительные множители для каждой дроби.
Для первой дроби $\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $\frac{2(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 2$.
Для второй дроби $\frac{x + 1}{2(x - 1)}$ дополнительный множитель: $\frac{2(x - 1)(x + 1)}{2(x - 1)} = x + 1$.

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Первая дробь: $\frac{x \cdot 2}{(x - 1)(x + 1) \cdot 2} = \frac{2x}{2(x^2 - 1)}$.
Вторая дробь: $\frac{(x + 1) \cdot (x + 1)}{2(x - 1) \cdot (x + 1)} = \frac{(x + 1)^2}{2(x^2 - 1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{2(x^2 - 1)}$.

Ответ: $\frac{2x}{2(x^2 - 1)}$ и $\frac{x^2 + 2x + 1}{2(x^2 - 1)}$.

б) Даны дроби $\frac{4}{x^2 - 1}$ и $\frac{x - 4}{3x + 3}$.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Знаменатель второй дроби: $3x + 3 = 3(x + 1)$.

2. Найдём НОЗ.
Множители: $3$, $(x - 1)$, $(x + 1)$.
НОЗ = $3(x - 1)(x + 1) = 3(x^2 - 1)$.

3. Найдём дополнительные множители.
Для первой дроби $\frac{4}{(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $3$.
Для второй дроби $\frac{x - 4}{3(x + 1)}$ дополнительный множитель: $x - 1$.

4. Приведём дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $\frac{4 \cdot 3}{(x - 1)(x + 1) \cdot 3} = \frac{12}{3(x^2 - 1)}$.
Вторая дробь: $\frac{(x - 4)(x - 1)}{3(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^2 - x - 4x + 4}{3(x^2 - 1)} = \frac{x^2 - 5x + 4}{3(x^2 - 1)}$.

Ответ: $\frac{12}{3(x^2 - 1)}$ и $\frac{x^2 - 5x + 4}{3(x^2 - 1)}$.

в) Даны дроби $\frac{x}{x^2 + 2x + 1}$ и $\frac{6}{x^2 - 1}$.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ (формула квадрата суммы).
Знаменатель второй дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

2. Найдём НОЗ.
Множители: $(x + 1)$ в степени 2 и $(x - 1)$ в степени 1.
НОЗ = $(x - 1)(x + 1)^2$.

3. Найдём дополнительные множители.
Для первой дроби $\frac{x}{(x + 1)^2}$ дополнительный множитель: $x - 1$.
Для второй дроби $\frac{6}{(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $x + 1$.

4. Приведём дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $\frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2(x - 1)} = \frac{x^2 - x}{(x - 1)(x + 1)^2}$.
Вторая дробь: $\frac{6(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x + 1)} = \frac{6x + 6}{(x - 1)(x + 1)^2}$.

Ответ: $\frac{x^2 - x}{(x - 1)(x + 1)^2}$ и $\frac{6x + 6}{(x - 1)(x + 1)^2}$.

г) Даны дроби $\frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ и $\frac{-5}{x^2 - 1}$.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ (формула квадрата разности).
Знаменатель второй дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

2. Найдём НОЗ.
Множители: $(x - 1)$ в степени 2 и $(x + 1)$ в степени 1.
НОЗ = $(x - 1)^2(x + 1)$.

3. Найдём дополнительные множители.
Для первой дроби $\frac{1}{(x - 1)^2}$ дополнительный множитель: $x + 1$.
Для второй дроби $\frac{-5}{(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $x - 1$.

4. Приведём дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $\frac{1(x + 1)}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{x + 1}{(x - 1)^2(x + 1)}$.
Вторая дробь: $\frac{-5(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)(x - 1)} = \frac{-5x + 5}{(x - 1)^2(x + 1)}$.

Ответ: $\frac{x + 1}{(x - 1)^2(x + 1)}$ и $\frac{-5x + 5}{(x - 1)^2(x + 1)}$.