Номер 224, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.1. Алгебраические дроби и их свойства. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 224, страница 5.

Условие.

224. Сократите дробь:

а) $ \frac{3x^2}{9x} = \dots; $

б) $ \frac{2y^3}{8y^2} = \dots; $

в) $ \frac{(x-1)(x+2)}{2x+4} = \frac{\dots}{2(x+2)} = \dots $

г) $ \frac{(x-3)(x-4)}{3x-9} = \dots $

д) $ \frac{x^2-1}{2x-2} = \dots $

е) $ \frac{x^2-1}{3x+3} = \dots $

ж) $ \frac{x^2-2x+1}{x^2-1} = \dots $

з) $ \frac{x^2-4x+4}{x^2-4} = \dots $

и) $ \frac{x^2+6x+9}{x^2-9} = \dots $

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{3x^2}{9x}$

Чтобы сократить дробь, разложим числитель и знаменатель на множители. Затем сократим общие множители. Числовой коэффициент $3$ в числителе и $9$ в знаменателе сокращаются на $3$. Степени переменной $x^2$ и $x$ сокращаются на $x$.

$\frac{3x^2}{9x} = \frac{3 \cdot x \cdot x}{3 \cdot 3 \cdot x} = \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{x} \cdot x}{\cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{x}} = \frac{x}{3}$

Ответ: $\frac{x}{3}$.

б) $\frac{2y^3}{8y^2}$

Сократим числовые коэффициенты $2$ и $8$ на $2$. Сократим степени переменной $y^3$ и $y^2$ на $y^2$.

$\frac{2y^3}{8y^2} = \frac{2 \cdot y^2 \cdot y}{4 \cdot 2 \cdot y^2} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{y^2} \cdot y}{4 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{y^2}} = \frac{y}{4}$

Ответ: $\frac{y}{4}$.

в) $\frac{(x-1)(x+2)}{2x+4}$

Чтобы сократить дробь, разложим знаменатель на множители, вынеся общий множитель $2$ за скобки.

$2x+4 = 2(x+2)$

Теперь подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим общий множитель $(x+2)$.

$\frac{(x-1)(x+2)}{2(x+2)} = \frac{(x-1)\cancel{(x+2)}}{2\cancel{(x+2)}} = \frac{x-1}{2}$

Ответ: $\frac{x-1}{2}$.

г) $\frac{(x-3)(x-4)}{3x-9}$

Разложим знаменатель на множители, вынеся общий множитель $3$ за скобки.

$3x-9 = 3(x-3)$

Подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим общий множитель $(x-3)$.

$\frac{(x-3)(x-4)}{3(x-3)} = \frac{\cancel{(x-3)}(x-4)}{3\cancel{(x-3)}} = \frac{x-4}{3}$

Ответ: $\frac{x-4}{3}$.

д) $\frac{x^2-1}{2x-2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель раскладывается по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. В знаменателе вынесем общий множитель $2$ за скобки.

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$2x-2 = 2(x-1)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x-1)$.

$\frac{(x-1)(x+1)}{2(x-1)} = \frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{2\cancel{(x-1)}} = \frac{x+1}{2}$

Ответ: $\frac{x+1}{2}$.

е) $\frac{x^2-1}{3x+3}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов. В знаменателе вынесем общий множитель $3$ за скобки.

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$3x+3 = 3(x+1)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x+1)$.

$\frac{(x-1)(x+1)}{3(x+1)} = \frac{(x-1)\cancel{(x+1)}}{3\cancel{(x+1)}} = \frac{x-1}{3}$

Ответ: $\frac{x-1}{3}$.

ж) $\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это квадрат разности, $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$. Знаменатель — это разность квадратов.

$x^2-2x+1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1)$

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x-1)$.

$\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{\cancel{(x-1)}(x-1)}{\cancel{(x-1)}(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}$

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$.

з) $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это квадрат разности. Знаменатель — это разность квадратов.

$x^2-4x+4 = (x-2)^2 = (x-2)(x-2)$

$x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x-2)$.

$\frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{\cancel{(x-2)}(x-2)}{\cancel{(x-2)}(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$

Ответ: $\frac{x-2}{x+2}$.

и) $\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это квадрат суммы, $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Знаменатель — это разность квадратов.

$x^2+6x+9 = (x+3)^2 = (x+3)(x+3)$

$x^2-9 = x^2-3^2 = (x-3)(x+3)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x+3)$.

$\frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{\cancel{(x+3)}(x+3)}{(x-3)\cancel{(x+3)}} = \frac{x+3}{x-3}$

Ответ: $\frac{x+3}{x-3}$.