Номер 218, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 218, страница 77.

Условие.

218. Вынесите общий множитель за скобки:

a) $b^3 - 5b^2 + b = $

б) $5ab^4 + 15a^2b^2 - 25a^3b = $

в) $x(x - 5) + 6(x - 5) = $

г) $x(x - 3) - 7(3 - x) = $

Решение.

Решение 2.

а) В выражении $b^3 - 5b^2 + b$ каждый член содержит переменную $b$. Наименьшая степень переменной $b$ в этом выражении – первая ($b^1$ или просто $b$), поэтому мы можем вынести $b$ за скобки. Для этого нужно каждый член многочлена разделить на $b$:
Первый член: $b^3 \div b = b^{3-1} = b^2$
Второй член: $-5b^2 \div b = -5b^{2-1} = -5b$
Третий член: $b \div b = 1$
Запишем общий множитель $b$ перед скобками, а результаты деления внутри скобок. В результате получаем:
$b(b^2 - 5b + 1)$
Ответ: $b(b^2 - 5b + 1)$

б) В выражении $5ab^4 + 15a^2b^2 - 25a^3b$ найдем общий множитель для коэффициентов и для каждой переменной отдельно.
1. Коэффициенты: 5, 15, -25. Наибольший общий делитель (НОД) для этих чисел равен 5.
2. Переменная $a$: она входит в каждый член в степенях $a^1$, $a^2$, $a^3$. Выносим переменную в наименьшей степени, то есть $a^1 = a$.
3. Переменная $b$: она входит в каждый член в степенях $b^4$, $b^2$, $b^1$. Выносим переменную в наименьшей степени, то есть $b^1 = b$.
Итак, общий множитель для всего выражения – это $5ab$. Теперь разделим каждый член исходного многочлена на $5ab$:
$5ab^4 \div (5ab) = b^3$
$15a^2b^2 \div (5ab) = 3ab$
$-25a^3b \div (5ab) = -5a^2$
Результат записываем в виде произведения общего множителя на многочлен в скобках:
$5ab(b^3 + 3ab - 5a^2)$
Ответ: $5ab(b^3 + 3ab - 5a^2)$

в) В выражении $x(x - 5) + 6(x - 5)$ мы видим два слагаемых: $x(x - 5)$ и $6(x - 5)$. Оба этих слагаемых имеют общий множитель — выражение в скобках $(x - 5)$. Мы можем вынести этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого останется $x$, а от второго — 6. Получим:
$(x - 5)(x + 6)$
Ответ: $(x - 5)(x + 6)$

г) В выражении $x(x - 3) - 7(3 - x)$ множители в скобках $(x - 3)$ и $(3 - x)$ являются противоположными выражениями. То есть, $(3 - x) = -1 \cdot (x - 3)$. Мы можем использовать это свойство, чтобы сделать множители одинаковыми.
Заменим $(3 - x)$ на $-(x - 3)$ во втором члене:
$x(x - 3) - 7(-(x - 3))$
Умножение $-7$ на $-1$ дает $+7$:
$x(x - 3) + 7(x - 3)$
Теперь у обоих членов есть общий множитель $(x - 3)$, который мы выносим за скобки. От первого члена остается $x$, а от второго $+7$.
$(x - 3)(x + 7)$
Ответ: $(x - 3)(x + 7)$