Номер 211, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.8. Куб разности. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 211, страница 75.

Условие.

211. Запишите в виде многочлена стандартного вида:

а) $(a - 1)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 - 1^3 = \ldots$

б) $(a - 2)^3 = \ldots$

в) $(a - 3)^3 = \ldots$

г) $(a - 4)^3 = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы записать выражение $(a - 1)^3$ в виде многочлена стандартного вида, необходимо воспользоваться формулой сокращенного умножения "куб разности": $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В данном случае, $x = a$ и $y = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a - 1)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 - 1^3$
Теперь упростим полученное выражение, выполнив все действия:
$a^3 - 3a^2 + 3a - 1$
Это и есть многочлен стандартного вида.
Ответ: $a^3 - 3a^2 + 3a - 1$

б) Аналогично предыдущему пункту, применим формулу куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ для выражения $(a - 2)^3$.
Здесь $x = a$ и $y = 2$.
$(a - 2)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3$
Упростим, выполнив вычисления:
$a^3 - (3 \cdot 2)a^2 + (3 \cdot 4)a - 8$
$a^3 - 6a^2 + 12a - 8$
Ответ: $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

в) Используем ту же формулу $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ для выражения $(a - 3)^3$.
Здесь $x = a$ и $y = 3$.
$(a - 3)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3$
Упростим выражение:
$a^3 - (3 \cdot 3)a^2 + (3 \cdot 9)a - 27$
$a^3 - 9a^2 + 27a - 27$
Ответ: $a^3 - 9a^2 + 27a - 27$

г) Для выражения $(a - 4)^3$ снова применим формулу куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В этом случае $x = a$ и $y = 4$.
$(a - 4)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 - 4^3$
Выполним вычисления для приведения к многочлену стандартного вида:
$a^3 - (3 \cdot 4)a^2 + (3 \cdot 16)a - 64$
$a^3 - 12a^2 + 48a - 64$
Ответ: $a^3 - 12a^2 + 48a - 64$