Номер 204, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.7. Куб суммы. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 204, страница 73.

Условие.

204. Примените формулу куба суммы:

$(a + 9)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 9 + 3 \cdot a \cdot 9^2 + 9^3;$

$(a + 10)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 10 + 3 \cdot a \cdot 10^2 + 10^3$

a) $(a + 5)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 + \dots$

б) $(x + 6)^3 = \dots + 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot \dots$

в) $(x + 7)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \dots$

г) $(8 + m)^3 = \dots$

д) $(x + x^2)^3 = \dots$

Решение.

Решение 2.

Для решения всех пунктов используется формула куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

а) Для выражения $(a + 5)^3$ применим формулу, где $A = a$ и $B = 5$.
Подставляем значения в формулу:
$(a + 5)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 + 5^3$.
Теперь упростим полученное выражение:
$a^3 + 15a^2 + 3 \cdot a \cdot 25 + 125 = a^3 + 15a^2 + 75a + 125$.
Ответ: $a^3 + 15a^2 + 75a + 125$.

б) Для выражения $(x + 6)^3$ применим формулу, где $A = x$ и $B = 6$.
Подставляем значения в формулу:
$(x + 6)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 + 6^3$.
Упростим выражение:
$x^3 + 18x^2 + 3 \cdot x \cdot 36 + 216 = x^3 + 18x^2 + 108x + 216$.
Ответ: $x^3 + 18x^2 + 108x + 216$.

в) Для выражения $(x + 7)^3$ применим формулу, где $A = x$ и $B = 7$.
Подставляем значения в формулу:
$(x + 7)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 + 7^3$.
Упростим выражение:
$x^3 + 21x^2 + 3 \cdot x \cdot 49 + 343 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.
Ответ: $x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.

г) Для выражения $(8 + m)^3$ применим формулу, где $A = 8$ и $B = m$.
Подставляем значения в формулу:
$(8 + m)^3 = 8^3 + 3 \cdot 8^2 \cdot m + 3 \cdot 8 \cdot m^2 + m^3$.
Упростим выражение:
$512 + 3 \cdot 64 \cdot m + 24m^2 + m^3 = 512 + 192m + 24m^2 + m^3$.
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив слагаемые по убыванию степеней переменной $m$:
$m^3 + 24m^2 + 192m + 512$.
Ответ: $m^3 + 24m^2 + 192m + 512$.

д) Для выражения $(x + x^2)^3$ применим формулу, где $A = x$ и $B = x^2$.
Подставляем значения в формулу:
$(x + x^2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (x^2) + 3 \cdot x \cdot (x^2)^2 + (x^2)^3$.
Упростим выражение, используя свойства степеней $(a^m \cdot a^n = a^{m+n})$ и $((a^m)^n = a^{mn})$:
$x^3 + 3x^{2+2} + 3x^{1+4} + x^{2 \cdot 3} = x^3 + 3x^4 + 3x^5 + x^6$.
Запишем многочлен в стандартном виде по убыванию степеней переменной $x$:
$x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3$.
Ответ: $x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3$.