Номер 209, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.8. Куб разности. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 209, страница 74.

Условие.

209. Докажите двумя способами формулу куба разности:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Доказательство.

I способ. $(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = $

........................

II способ. $(a - b)^3 = (a + (-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = $

Решение.

Решение 2.

I способ.

Этот способ заключается в прямом раскрытии скобок. Сначала представим куб разности $(a - b)^3$ как произведение $(a - b)$ на квадрат разности $(a - b)^2$. Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$.

Теперь умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Таким образом, формула доказана.

Ответ: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

II способ.

Этот способ основан на использовании формулы куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Представим разность $(a - b)$ в виде суммы $(a + (-b))$.

$(a - b)^3 = (a + (-b))^3$.

Теперь применим формулу куба суммы, подставив $x = a$ и $y = -b$:

$a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3$.

Упростим полученное выражение. Учтём, что $(-b)^2 = b^2$ и $(-b)^3 = -b^3$:

$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Таким образом, формула доказана.

Ответ: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.