Номер 206, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.7. Куб суммы. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 206, страница 73.

Условие.

206. Запишите в виде куба суммы:

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3$

a) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = \ldots$

б) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = \ldots$

в) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = \ldots$

Решение.

Решение 2.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу куба суммы двух выражений: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Нам нужно сопоставить каждый из данных многочленов с этой формулой, чтобы найти значения $a$ и $b$.

а) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Сравним данное выражение с формулой $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Первый член выражения $x^3$ соответствует $a^3$, из чего мы можем сделать вывод, что $a = x$.

Последний член выражения $1$ соответствует $b^3$, из чего следует, что $b = 1$, так как $1^3 = 1$.

Теперь проверим, соответствуют ли средние члены выражения формуле при найденных $a$ и $b$:

• Второй член: $3a^2b = 3 \cdot x^2 \cdot 1 = 3x^2$. Совпадает.
• Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 1^2 = 3x$. Совпадает.

Все члены совпадают, следовательно, выражение является кубом суммы $x$ и $1$.

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$.

Ответ: $(x + 1)^3$.

б) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Снова используем формулу $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Первый член $x^3$ соответствует $a^3$, значит $a = x$.

Последний член $8$ соответствует $b^3$, значит $b = 2$, так как $2^3 = 8$.

Проверим средние члены при $a = x$ и $b = 2$:

• Второй член: $3a^2b = 3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2$. Совпадает.
• Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 2^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$. Совпадает.

Все члены совпадают, значит выражение является кубом суммы $x$ и $2$.

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3$.

Ответ: $(x + 2)^3$.

в) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Вновь применяем формулу $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Первый член $x^3$ соответствует $a^3$, что дает нам $a = x$.

Последний член $27$ соответствует $b^3$, что дает нам $b = 3$, так как $3^3 = 27$.

Проверим средние члены при $a = x$ и $b = 3$:

• Второй член: $3a^2b = 3 \cdot x^2 \cdot 3 = 9x^2$. Совпадает.
• Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 3^2 = 3 \cdot x \cdot 9 = 27x$. Совпадает.

Все члены совпадают, поэтому выражение является кубом суммы $x$ и $3$.

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x + 3)^3$.

Ответ: $(x + 3)^3$.