Номер 201, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 201, страница 72.

Условие.

201*. Докажите, что неполный квадрат суммы $a^2 + ab + b^2$ принимает положительные значения для любых $a$ и $b$.

Доказательство. Выделим полный квадрат:

$a^2 + ab + b^2 = \ldots$

Решение.

Решение 2.

Доказательство. Чтобы доказать утверждение, преобразуем данное выражение, выделив в нём полный квадрат. Для этого мы используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = (a^2 + ab + \frac{b^2}{4}) - \frac{b^2}{4} + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$.

Полученное выражение $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$ является суммой двух слагаемых. Проанализируем каждое из них:

1. Слагаемое $(a + \frac{b}{2})^2$ является квадратом действительного числа, а значит, его значение всегда неотрицательно (больше или равно нулю): $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$.

2. Слагаемое $\frac{3b^2}{4}$ также всегда неотрицательно, поскольку $b^2 \ge 0$ и коэффициент $\frac{3}{4}$ положителен: $\frac{3b^2}{4} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Выражение может равняться нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю: $(a + \frac{b}{2})^2 = 0$ и $\frac{3b^2}{4} = 0$.

Из второго уравнения $\frac{3b^2}{4} = 0$ получаем $b^2=0$, то есть $b=0$. Подставив $b=0$ в первое уравнение, имеем $(a + \frac{0}{2})^2 = 0$, то есть $a^2 = 0$, откуда $a=0$.

Таким образом, выражение $a^2 + ab + b^2$ обращается в ноль только при $a=0$ и $b=0$. Во всех остальных случаях, когда хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю, одно из слагаемых $(a + \frac{b}{2})^2$ или $\frac{3b^2}{4}$ будет строго положительным, а значит, и вся сумма будет строго положительной. Что и требовалось доказать.

Ответ: После выделения полного квадрата выражение принимает вид $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$. Так как оба слагаемых в этой сумме неотрицательны и одновременно равны нулю только при $a=b=0$, то для любых других значений $a$ и $b$ выражение принимает строго положительные значения.