Номер 195, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 195, страница 70.

Условие.

195*. Объясните с помощью рисунка 11, почему равенство

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$

верно для положительных чисел $a$ и $b$.

Перепишем левую часть равенства в виде

$(a + b)a^2 - (a + b)ab + (a + b)b^2$.

Найдём на рисунке прямоугольные параллелепипеды, объёмы которых равны $(a + b)a^2$, $(a + b)ab$ и $(a + b)b^2$.

...

...

Рис. 11

Решение.

Решение 2.

Данное равенство представляет собой формулу суммы кубов. Чтобы объяснить ее с помощью рисунка 11, мы представим левую часть равенства как сумму и разность объемов различных геометрических тел, которые изображены на рисунке.

Перепишем левую часть равенства в виде $(a + b)a^2 - (a + b)ab + (a + b)b^2$.

Эта форма представляет левую часть тождества $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ после раскрытия скобок, но без приведения подобных членов. Мы будем интерпретировать каждый член этого выражения — $(a+b)a^2$, $(a+b)ab$ и $(a+b)b^2$ — как объем определенного тела или совокупности тел, изображенных на рисунке.

Найдем на рисунке прямоугольные параллелепипеды, объемы которых равны $(a + b)a^2$, $(a + b)ab$ и $(a + b)b^2$.

Сначала определим объемы основных «строительных блоков», из которых состоит фигура на рисунке 11:

• Большой полупрозрачный куб (на заднем плане слева) имеет ребро длиной $a$, следовательно, его объем равен $a^3$.
• Маленький темный куб (на переднем плане справа) имеет ребро длиной $b$, его объем равен $b^3$.
• Прямоугольный параллелепипед, расположенный справа от большого куба, имеет размеры $a \times a \times b$ (высота $\times$ глубина $\times$ ширина). Его объем равен $a^2b$.
• Прямоугольный параллелепипед, расположенный под предыдущим (и справа от воображаемого продолжения большого куба вниз), имеет размеры $a \times b \times b$ (глубина $\times$ высота $\times$ ширина). Его объем равен $ab^2$.

Теперь соотнесем члены разложения с объемами составных частей фигуры:

1. Первый член: $V_1 = (a + b)a^2 = a^3 + a^2b$.
   Этот объем равен сумме объемов большого куба ($a^3$) и примыкающего к нему справа параллелепипеда ($a^2b$). На рисунке эти два тела вместе образуют верхнюю L-образную часть фигуры.
2. Второй член (вычитаемый): $V_2 = (a + b)ab = a^2b + ab^2$.
   Этот объем равен сумме объемов двух параллелепипедов, образующих правую «стенку» фигуры: верхнего ($a^2b$) и нижнего ($ab^2$).
3. Третий член (добавляемый): $V_3 = (a + b)b^2 = ab^2 + b^3$.
   Этот объем равен сумме объемов нижнего правого параллелепипеда ($ab^2$) и малого куба ($b^3$).

Теперь выполним геометрическое сложение и вычитание объемов, как предписано формулой $V_1 - V_2 + V_3$:

1. Начинаем с объема $V_1 = a^3 + a^2b$ (верхняя L-образная часть).

2. Вычитаем объем $V_2 = a^2b + ab^2$. Геометрически это означает, что мы убираем из нашей фигуры два параллелепипеда с такими объемами. Первый из них, объемом $a^2b$, является частью нашего начального объема $V_1$. После его удаления от $V_1$ остается только большой куб объемом $a^3$. Теперь из этого куба нужно вычесть объем $ab^2$.

3. Добавляем объем $V_3 = ab^2 + b^3$. Мы добавляем параллелепипед объемом $ab^2$, который на предыдущем шаге вычли, и малый куб объемом $b^3$.

В результате этих действий объем $a^2b$ сначала добавляется (в составе $V_1$), а затем вычитается (в составе $V_2$). Аналогично, объем $ab^2$ сначала вычитается (в составе $V_2$), а затем добавляется (в составе $V_3$). Эти объемы взаимно уничтожаются.

Итоговый объем равен сумме объемов, которые не были скомпенсированы: объем большого куба ($a^3$) из $V_1$ и объем малого куба ($b^3$) из $V_3$.

Таким образом, geometrically, $(a + b)a^2 - (a + b)ab + (a + b)b^2$ представляет собой объем большого куба плюс объем малого куба.

Ответ: Равенство $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ верно, так как объем фигуры, полученной путем сложения и вычитания параллелепипедов с объемами $(a + b)a^2$, $-(a + b)ab$ и $(a + b)b^2$, равен сумме объемов двух кубов со сторонами $a$ и $b$.