Номер 191, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 191, страница 69.

Условие.

191. Докажите формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Доказательство. $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + \ldots

Решение.

Решение 2.

Доказательство.

Для доказательства формулы суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ необходимо раскрыть скобки в правой части выражения. Для этого нужно умножить каждый член многочлена $(a + b)$ на каждый член многочлена $(a^2 - ab + b^2)$. Продолжим вычисление, начатое в условии задачи:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-a^2b$ и $+a^2b$ взаимно уничтожаются (их сумма равна нулю), так же как и слагаемые $+ab^2$ и $-ab^2$:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате преобразования правой части выражения мы получили левую часть: $a^3 + b^3$. Следовательно, данное равенство является тождеством, и формула доказана.

Ответ: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$.