Номер 189, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 189, страница 69.

Условие.

189*. Докажите, что если $p$ — простое число и $p > 3$, то $p^2 - 1$ делится на 12.

Доказательство. Из трёх последовательных натуральных чисел $p - 1$, $p$, $p + 1$ одно делится на 3, но это не $p$, так как $p$ — простое число и $p > 3$. По той же причине число $p$ не делится на 2, тогда .........

Решение.

Решение 2.

Доказательство.

Чтобы доказать, что выражение $p^2 - 1$ делится на 12, необходимо показать, что оно делится одновременно на 3 и на 4. Этого будет достаточно, поскольку числа 3 и 4 взаимно просты, и их произведение равно 12.

1. Докажем делимость на 3.
Рассмотрим три последовательных натуральных числа: $p - 1$, $p$ и $p + 1$. Среди них обязательно найдется одно число, кратное 3. По условию $p$ — простое число и $p > 3$, значит, $p$ на 3 не делится. Следовательно, на 3 делится либо $p - 1$, либо $p + 1$.
Выражение $p^2 - 1$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.
Так как один из множителей в этом произведении делится на 3, то и само произведение $p^2 - 1$ делится на 3.

2. Докажем делимость на 4.
Так как $p$ — простое число, большее 3, оно не может быть четным (единственное четное простое число — это 2). Значит, $p$ — нечетное число. Тогда числа $p - 1$ и $p + 1$ являются двумя последовательными четными числами.
Произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на 8. Действительно, пусть эти числа $2k$ и $2k+2$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Из двух последовательных целых чисел $k$ и $k+1$ одно является четным, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Таким образом, всё произведение $(p-1)(p+1) = 4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$. Если число делится на 8, то оно, очевидно, делится и на 4.

Вывод.
Мы доказали, что $p^2 - 1$ делится и на 3, и на 4. Поскольку числа 3 и 4 взаимно просты, то $p^2 - 1$ должно делиться на их произведение, то есть на $3 \times 4 = 12$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.