Номер 183, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 183, страница 67.

Условие.

183. Укажите все значения $a$, при каждом из которых многочлен $x^2 + 6x + 10 + a$ принимает положительные значения.

Решение.

Решение 2.

Данный многочлен $P(x) = x^2 + 6x + 10 + a$ является квадратичной функцией от переменной $x$. График этой функции — парабола. Чтобы многочлен принимал только положительные значения при любом значении $x$, необходимо, чтобы вся парабола располагалась выше оси абсцисс (оси Ox).

Это условие выполняется, если одновременно верны два утверждения:

1. Ветви параболы направлены вверх. Это определяется знаком коэффициента при $x^2$. В данном случае он равен $1$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Парабола не имеет точек пересечения с осью Ox, то есть не имеет действительных корней. Это означает, что дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x + 10 + a = 0$ должен быть отрицательным.

Вычислим дискриминант $D$ для квадратного уравнения $x^2 + 6x + (10 + a) = 0$. В этом уравнении коэффициенты: $b = 6$, старший коэффициент (при $x^2$) равен $1$, свободный член $c = 10 + a$.

По формуле дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (10 + a) = 36 - 4(10 + a) = 36 - 40 - 4a = -4 - 4a$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$-4 - 4a < 0$

$-4 < 4a$

Разделим обе части на 4:

$-1 < a$, или $a > -1$.

Другой способ решения:

Можно найти наименьшее значение многочлена, выделив полный квадрат.

$x^2 + 6x + 10 + a = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 + a = (x+3)^2 - 9 + 10 + a = (x+3)^2 + 1 + a$.

Выражение $(x+3)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x = -3$). Следовательно, наименьшее значение всего многочлена равно $0 + 1 + a = 1 + a$.

Чтобы многочлен всегда был положительным, его наименьшее значение должно быть больше нуля:

$1 + a > 0$

$a > -1$

Ответ: $a > -1$