Номер 180, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 180, страница 66.

Условие.

180. Докажите, что при каждом значении x и каждом значении y многочлен принимает положительные значения:

a) $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14$;

б) $x^2 + y^2 + 2x - 14y + 50,5$.

Доказательство.

a) $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 + 1 =$.

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14$ принимает положительные значения при любых $x$ и $y$, преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14 = (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 14$.

Для выделения полного квадрата из выражения $x^2 - 4x$ необходимо добавить $4$, а из выражения $y^2 + 6y$ — $9$. Представим свободный член $14$ в виде суммы $4 + 9 + 1$:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + 1$.

Теперь свернем полные квадраты по формулам квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) + 1 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 1$.

Рассмотрим полученное выражение. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть:
$(x - 2)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
$(y + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $y$.

Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 \ge 0$.

Прибавляя к неотрицательному выражению положительное число 1, мы получаем выражение, которое всегда будет строго больше нуля:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Поскольку $1 > 0$, то и исходный многочлен всегда принимает положительные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен преобразован к виду $(x-2)^2 + (y+3)^2 + 1$. Так как $(x-2)^2 \ge 0$ и $(y+3)^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$, их сумма не меньше нуля. Прибавив 1, получаем выражение, которое всегда больше или равно 1, а значит, всегда положительно.

б)

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + y^2 + 2x - 14y + 50,5$ принимает положительные значения при любых $x$ и $y$, также применим метод выделения полных квадратов.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:
$x^2 + y^2 + 2x - 14y + 50,5 = (x^2 + 2x) + (y^2 - 14y) + 50,5$.

Выделим полные квадраты. Для этого преобразуем выражение:
Для $x$: $x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$.
Для $y$: $y^2 - 14y = (y^2 - 14y + 49) - 49 = (y-7)^2 - 49$.

Подставим полученные выражения в исходный многочлен:
$((x+1)^2 - 1) + ((y-7)^2 - 49) + 50,5 = (x+1)^2 + (y-7)^2 - 1 - 49 + 50,5$.

Упростим числовые слагаемые:
$(x+1)^2 + (y-7)^2 - 50 + 50,5 = (x+1)^2 + (y-7)^2 + 0,5$.

Выражения $(x+1)^2$ и $(y-7)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны:
$(x+1)^2 \ge 0$ при любом $x$.
$(y-7)^2 \ge 0$ при любом $y$.

Их сумма также неотрицательна:
$(x+1)^2 + (y-7)^2 \ge 0$.

Прибавляя к этой сумме положительное число 0,5, мы получаем выражение, которое всегда строго положительно:
$(x+1)^2 + (y-7)^2 + 0,5 \ge 0 + 0,5 = 0,5$.
Так как $0,5 > 0$, исходный многочлен всегда положителен, что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен преобразован к виду $(x+1)^2 + (y-7)^2 + 0,5$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ и $(y-7)^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$, их сумма не меньше нуля. Прибавив 0,5, получаем выражение, которое всегда больше или равно 0,5, а значит, всегда положительно.