Номер 178, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 178, страница 65.

Условие.

178. Докажите, что при каждом значении a выражение принимает положительные значения:

$a^2 - 2a + 12 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 + 11 = (a - 1)^2 + 11 > 0$, так как $(a - 1)^2 \geq 0$ и $11 > 0$

a) $a^2 + 4a + 5$;

б) $a^2 - 6a + 10$;

в) $4a^2 + 4a + 9$;

г) $a^2 - a + 1$;

д) $9a^2 + 12a + 17$.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что выражение $a^2 + 4a + 5$ всегда положительно, выделим в нем полный квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. В нашем случае $x=a$, а член $2xy$ соответствует $4a$, откуда $y=2$. Таким образом, нам нужно слагаемое $y^2 = 2^2 = 4$. Представим выражение в следующем виде:
$a^2 + 4a + 5 = (a^2 + 4a + 4) - 4 + 5 = (a + 2)^2 + 1$.
Выражение $(a + 2)^2$ является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно: $(a + 2)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.Сумма неотрицательного числа $(a + 2)^2$ и положительного числа $1$ всегда положительна. Таким образом, $(a + 2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1 > 0$.Следовательно, выражение $a^2 + 4a + 5$ принимает положительные значения при любом $a$.
Ответ: Доказано.

б) Для выражения $a^2 - 6a + 10$ применим метод выделения полного квадрата, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. Здесь $x=a$, а $2xy$ соответствует $6a$, откуда $y=3$. Требуемое слагаемое $y^2=3^2=9$.
$a^2 - 6a + 10 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 9) - 9 + 10 = (a - 3)^2 + 1$.
Так как $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого $a$ (квадрат любого числа неотрицателен), а $1 > 0$, то их сумма $(a - 3)^2 + 1$ всегда будет положительна: $(a - 3)^2 + 1 \ge 0+1=1 > 0$.Следовательно, выражение $a^2 - 6a + 10$ всегда положительно.
Ответ: Доказано.

в) Рассмотрим выражение $4a^2 + 4a + 9$. Выделим полный квадрат. Заметим, что $4a^2 = (2a)^2$. Используя формулу квадрата суммы, где $x=2a$ и $2xy = 4a$, находим $y=1$.
$4a^2 + 4a + 9 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 9 = ((2a)^2 + 4a + 1) + 8 = (2a + 1)^2 + 8$.
Выражение $(2a + 1)^2$ как квадрат любого числа неотрицательно: $(2a + 1)^2 \ge 0$. Число $8$ положительно.Их сумма $(2a + 1)^2 + 8$ всегда будет положительной, так как $(2a + 1)^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8 > 0$.Таким образом, выражение $4a^2 + 4a + 9$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: Доказано.

г) Для выражения $a^2 - a + 1$ выделим полный квадрат. Используя формулу квадрата разности, где $x=a$ и $2xy = a$, находим $y=1/2$.
$a^2 - a + 1 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (a^2 - a + \frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Так как $(a - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ при любом значении $a$, а $\frac{3}{4} > 0$, то их сумма $(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ всегда положительна: $(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \ge 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} > 0$.Значит, выражение $a^2 - a + 1$ всегда положительно.
Ответ: Доказано.

д) Рассмотрим выражение $9a^2 + 12a + 17$. Выделим в нем полный квадрат. Заметим, что $9a^2 = (3a)^2$. Используя формулу квадрата суммы, где $x=3a$ и $2xy = 12a$, находим $y=2$.
$9a^2 + 12a + 17 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 17 = ((3a)^2 + 12a + 4) + 13 = (3a + 2)^2 + 13$.
Выражение $(3a + 2)^2$ всегда неотрицательно: $(3a + 2)^2 \ge 0$ для любого $a$. Число $13$ положительно.Следовательно, их сумма $(3a + 2)^2 + 13$ всегда будет положительной: $(3a + 2)^2 + 13 \ge 0 + 13 = 13 > 0$.Выражение $9a^2 + 12a + 17$ принимает положительные значения при любом $a$.
Ответ: Доказано.