Номер 172, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.2. Квадрат разности. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 172, страница 63.

Условие.

172. Докажите двумя способами формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Доказательство.

I способ. $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = \dots$

..................

II способ. $(a - b)^2 = (a + (-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = \dots$

Решение.

Решение 2.

I способ.

Данный способ основан на определении квадрата выражения и правиле умножения многочленов. Квадрат выражения $(a - b)$ — это произведение этого выражения на само себя.
$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$
Теперь, следуя правилу умножения многочленов (раскрытия скобок), умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2$
Так как умножение обладает свойством коммутативности ($ab = ba$), мы можем привести подобные слагаемые:
$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Таким образом, мы доказали тождество.
Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

II способ.

Этот способ заключается в том, чтобы представить разность $(a - b)$ в виде суммы $a + (-b)$ и применить уже известную формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$(a - b)^2 = (a + (-b))^2$
Применим формулу квадрата суммы, подставив в нее $x=a$ и $y=-b$:
$(a + (-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2$
Теперь упростим полученное выражение:
$a^2 - 2ab + b^2$
Мы получили тот же результат, что и требовалось доказать, так как $2a(-b) = -2ab$ и $(-b)^2 = (-b) \cdot (-b) = b^2$.
Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.