Номер 167, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.9. Тождественное равенство целых выражений. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 167, страница 61.

Условие.

167. Докажите тождество:

а) $ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1; $

$ (x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

б) $ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1; $

$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

в) $ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1; $

$ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - x^2 + x^2 - x + \ldots \ldots \ldots \ldots $

$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

г) $ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1. $

Решение.

Решение 2.

а) Для доказательства тождества $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ преобразуем его левую часть. Квадрат выражения равен произведению этого выражения на само себя. Раскроем скобки, как предложено в условии, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1 = x^2 + x + x + 1$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (x + x) + 1 = x^2 + 2x + 1$.

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: $(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1$.

б) Для доказательства тождества $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки по правилу умножения многочленов:

$(x - 1)^2 = (x - 1)(x - 1) = x \cdot x + x \cdot (-1) - 1 \cdot x + (-1) \cdot (-1) = x^2 - x - x + 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (-x - x) + 1 = x^2 - 2x + 1$.

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(x - 1)^2 = (x - 1)(x - 1) = x^2 - x - x + 1 = x^2 - 2x + 1$.

в) Для доказательства тождества $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$ преобразуем его левую часть, раскрыв скобки, как показано в условии:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 1 = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (x^2 - x^2) + (x - x) - 1 = x^3 + 0 + 0 - 1 = x^3 - 1$.

Члены $x^2$ и $-x^2$, а также $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются. В результате преобразований левая часть стала равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1$.

г) Для доказательства тождества $(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$ преобразуем его левую часть путем раскрытия скобок:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot (-x) + x \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot (-x) + 1 \cdot 1 = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2 + x^2) + (x - x) + 1 = x^3 + 0 + 0 + 1 = x^3 + 1$.

Члены $-x^2$ и $x^2$, а также $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются. Левая часть стала равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1$.