Номер 161, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.7. Целые выражения. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 161, страница 59.

Условие.

161*. Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом:

a) $(a + b)(a - b) - (a - c)(a + c) + (b - c)(b + c) = \dots$

б) $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (b + c)(b^2 - bc + c^2) - (a + c)(a^2 - ac + c^2) = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) $(a + b)(a - b) - (a - c)(a + c) + (b - c)(b + c)$

Для доказательства того, что данное выражение является нулевым многочленом, необходимо его упростить. Мы можем использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу к каждому произведению в выражении:

• Первый член: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

• Второй член: $(a - c)(a + c) = a^2 - c^2$

• Третий член: $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$

Теперь подставим упрощенные члены обратно в исходное выражение:

$(a^2 - b^2) - (a^2 - c^2) + (b^2 - c^2)$

Раскроем скобки. Важно обратить внимание на знак минус перед второй скобкой, который меняет знаки внутри нее:

$a^2 - b^2 - a^2 + c^2 + b^2 - c^2$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2)$

Выполним вычитание и сложение в каждой группе:

$0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку результатом преобразований является 0, данное выражение является нулевым многочленом.

Ответ: Выражение тождественно равно 0, что и требовалось доказать.

---

б) $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (b + c)(b^2 - bc + c^2) - (a + c)(a^2 - ac + c^2)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения для разности и суммы кубов:

• Разность кубов: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$

• Сумма кубов: $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$

Применим эти формулы к каждому члену исходного выражения:

• Первый член является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$

• Второй член является формулой суммы кубов: $(b + c)(b^2 - bc + c^2) = b^3 + c^3$

• Третий член является формулой суммы кубов: $(a + c)(a^2 - ac + c^2) = a^3 + c^3$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(a^3 - b^3) + (b^3 + c^3) - (a^3 + c^3)$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед последним слагаемым:

$a^3 - b^3 + b^3 + c^3 - a^3 - c^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (-b^3 + b^3) + (c^3 - c^3)$

Выполним вычисления:

$0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, выражение упрощается до 0, что доказывает, что оно является нулевым многочленом.

Ответ: Выражение тождественно равно 0, что и требовалось доказать.