Номер 160, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.7. Целые выражения. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 160, страница 59.

Условие.

160. Упростите целое выражение:

а) $(a - b)(b - c) - (a + c)(b + c) = ...$

б) $(a + b)(b - c) - (a - c)(b + c) = ...$

в) $(a - b)(-b - c) + (a + c)(b - c) = ...$

Решение.

Решение 2.

а) $(a - b)(b - c) - (a + c)(b + c)$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки в каждом произведении многочленов.

Первое произведение: $(a - b)(b - c) = a \cdot b + a \cdot (-c) - b \cdot b - b \cdot (-c) = ab - ac - b^2 + bc$.

Второе произведение: $(a + c)(b + c) = a \cdot b + a \cdot c + c \cdot b + c \cdot c = ab + ac + bc + c^2$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(ab - ac - b^2 + bc) - (ab + ac + bc + c^2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки всех слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобками стоит знак минус:

$ab - ac - b^2 + bc - ab - ac - bc - c^2$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(ab - ab) + (-ac - ac) - b^2 + (bc - bc) - c^2 = 0 - 2ac - b^2 + 0 - c^2 = -b^2 - c^2 - 2ac$

Ответ: $-b^2 - c^2 - 2ac$

б) $(a + b)(b - c) - (a - c)(b + c)$

Раскроем скобки в каждом произведении.

Первое произведение: $(a + b)(b - c) = a \cdot b + a \cdot (-c) + b \cdot b + b \cdot (-c) = ab - ac + b^2 - bc$.

Второе произведение: $(a - c)(b + c) = a \cdot b + a \cdot c - c \cdot b - c \cdot c = ab + ac - bc - c^2$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(ab - ac + b^2 - bc) - (ab + ac - bc - c^2)$

Раскроем вторые скобки с изменением знаков:

$ab - ac + b^2 - bc - ab - ac + bc + c^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(ab - ab) - ac - ac + b^2 - bc + bc + c^2 = 0 - 2ac + b^2 + 0 + c^2 = b^2 + c^2 - 2ac$

Ответ: $b^2 + c^2 - 2ac$

в) $(a - b)(-b - c) + (a + c)(b - c)$

Раскроем скобки в каждом произведении.

Первое произведение: $(a - b)(-b - c) = a \cdot (-b) + a \cdot (-c) - b \cdot (-b) - b \cdot (-c) = -ab - ac + b^2 + bc$.

Второе произведение: $(a + c)(b - c) = a \cdot b + a \cdot (-c) + c \cdot b + c \cdot (-c) = ab - ac + bc - c^2$.

Подставим полученные выражения в исходное. Так как между произведениями стоит знак плюс, скобки можно просто опустить:

$(-ab - ac + b^2 + bc) + (ab - ac + bc - c^2) = -ab - ac + b^2 + bc + ab - ac + bc - c^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(-ab + ab) + (-ac - ac) + b^2 + (bc + bc) - c^2 = 0 - 2ac + b^2 + 2bc - c^2 = b^2 - c^2 + 2bc - 2ac$

Ответ: $b^2 - c^2 + 2bc - 2ac$