Номер 157, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 157, страница 57.

Условие.

157*. Разложите на множители многочлен:

а) $x^2 + 2x - 3 = $........................

..................

б) $x^2 + 3x - 4 = $........................

..................

в) $x^2 - 4x + 5 = $........................

..................

г) $x^2 - 3x + 2 = $........................

..................

Решение.

Решение 2.

а) $x^2 + 2x - 3$

Чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — это корни уравнения, то разложение на множители будет иметь вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$.

Коэффициенты в этом уравнении: $a=1$, $b=2$, $c=-3$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Подставим найденные корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 + 2x - 3 = 1 \cdot (x - (-3))(x - 1) = (x + 3)(x - 1)$.

Ответ: $(x + 3)(x - 1)$.

б) $x^2 + 3x - 4$

Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$, чтобы найти его корни.

Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=-4$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Выполним разложение на множители:

$x^2 + 3x - 4 = 1 \cdot (x - (-4))(x - 1) = (x + 4)(x - 1)$.

Ответ: $(x + 4)(x - 1)$.

в) $x^2 - 4x + 5$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, у данного квадратного уравнения нет действительных корней. Следовательно, этот многочлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Также это можно увидеть, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.

Полученное выражение представляет собой сумму положительного слагаемого $(x-2)^2$ и 1, поэтому оно всегда больше нуля и не может быть разложено на множители в поле действительных чисел.

Ответ: многочлен нельзя разложить на множители с действительными коэффициентами.

г) $x^2 - 3x + 2$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=2$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-3) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-(-3) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Выполним разложение на множители:

$x^2 - 3x + 2 = 1 \cdot (x - 1)(x - 2) = (x - 1)(x - 2)$.

Ответ: $(x - 1)(x - 2)$.