Номер 151, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 151, страница 55.

Условие.

151. Упростите выражение:

a) $(x - 5)(x - 4) - (x - 6)(x - 3) = $

б) $(x + 6)(x - 4) - (x - 8)(x + 3) = $

в) $(x - 2)(x + 2) - (x - 1)(x + 1) = $

Решение.

Решение 2.

а) Для упрощения выражения $(x - 5)(x - 4) - (x - 6)(x - 3)$ необходимо раскрыть скобки в каждом произведении и затем привести подобные слагаемые.
Сначала раскроем первое произведение, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):
$(x - 5)(x - 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) - 5 \cdot x - 5 \cdot (-4) = x^2 - 4x - 5x + 20 = x^2 - 9x + 20$.
Теперь раскроем второе произведение:
$(x - 6)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) - 6 \cdot x - 6 \cdot (-3) = x^2 - 3x - 6x + 18 = x^2 - 9x + 18$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(x^2 - 9x + 20) - (x^2 - 9x + 18)$.
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой (все знаки внутри меняются на противоположные):
$x^2 - 9x + 20 - x^2 + 9x - 18$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-9x + 9x) + (20 - 18) = 0 + 0 + 2 = 2$.
Ответ: $2$

б) Упростим выражение $(x + 6)(x - 4) - (x - 8)(x + 3)$.
Выполним умножение многочленов в каждой части выражения поочередно.
Первое произведение:
$(x + 6)(x - 4) = x^2 - 4x + 6x - 24 = x^2 + 2x - 24$.
Второе произведение:
$(x - 8)(x + 3) = x^2 + 3x - 8x - 24 = x^2 - 5x - 24$.
Теперь вычтем второе полученное выражение из первого:
$(x^2 + 2x - 24) - (x^2 - 5x - 24) = x^2 + 2x - 24 - x^2 + 5x + 24$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (2x + 5x) + (-24 + 24) = 0 + 7x + 0 = 7x$.
Ответ: $7x$

в) Упростим выражение $(x - 2)(x + 2) - (x - 1)(x + 1)$.
В данном случае оба произведения представляют собой формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Применим эту формулу к первой паре скобок:
$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Применим эту же формулу ко второй паре скобок:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(x^2 - 4) - (x^2 - 1)$.
Раскроем скобки:
$x^2 - 4 - x^2 + 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-4 + 1) = 0 - 3 = -3$.
Ответ: $-3$