Номер 144, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 144, страница 53.

Условие.

144. Упростите выражение:

a) $a(b + c) - b(a - c) - c(b + a) = $

б) $a(b - c) - b(a - c) - c(b - a) = $

в) $a(b - c) + c(a - b) - b(a - c) = $

г) $a(a - b) + b(2a + b) + b(2a - b) - a(a + b) = $

Решение.

Решение 2.

а) $a(b + c) - b(a - c) - c(b + a)$
Для упрощения выражения раскроем скобки, умножая множитель перед скобками на каждый член внутри скобок. Необходимо внимательно следить за знаками.
$a(b + c) = ab + ac$
$-b(a - c) = -(ab - bc) = -ab + bc$
$-c(b + a) = -(cb + ca) = -bc - ac$
Теперь подставим раскрытые скобки обратно в выражение и сложим полученные результаты:
$ab + ac - ab + bc - bc - ac$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(ab - ab) + (ac - ac) + (bc - bc)$
Сокращаем подобные члены:
$0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

б) $a(b - c) - b(a - c) - c(b - a)$
Раскроем скобки в каждом слагаемом:
$a(b - c) = ab - ac$
$-b(a - c) = -ab + bc$
$-c(b - a) = -cb + ca = -bc + ac$
Соберем все члены вместе:
$ab - ac - ab + bc - bc + ac$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(ab - ab) + (-ac + ac) + (bc - bc)$
В результате все члены взаимно уничтожаются:
$0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

в) $a(b - c) + c(a - b) - b(a - c)$
Применим распределительный закон для раскрытия скобок:
$a(b - c) = ab - ac$
$c(a - b) = ca - cb = ac - bc$
$-b(a - c) = -ab + bc$
Теперь сложим все полученные выражения:
$ab - ac + ac - bc - ab + bc$
Сгруппируем подобные члены и выполним сложение/вычитание:
$(ab - ab) + (-ac + ac) + (-bc + bc)$
Все слагаемые сокращаются:
$0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

г) $a(a - b) + b(2a + b) + b(2a - b) - a(a + b)$
Последовательно раскроем все скобки:
$a(a - b) = a^2 - ab$
$b(2a + b) = 2ab + b^2$
$b(2a - b) = 2ab - b^2$
$-a(a + b) = -a^2 - ab$
Запишем выражение в развернутом виде:
$a^2 - ab + 2ab + b^2 + 2ab - b^2 - a^2 - ab$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по переменным:
$(a^2 - a^2) + (-ab + 2ab + 2ab - ab) + (b^2 - b^2)$
Выполним вычисления в каждой группе:
$0 + (4ab - 2ab) + 0 = 2ab$
Ответ: $2ab$