Номер 147, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 147, страница 54.

Условие.

147. Вася написал на листке два противоположных многочлена. Петя их не видел, но утверждает, что знает, чему равна их сумма. Прав ли Петя? Чему равна эта сумма?

Решение.

Решение 2.

Прав ли Петя?

Да, Петя абсолютно прав. По определению, два многочлена являются противоположными, если один из них можно получить из другого умножением на $-1$. Иными словами, все коэффициенты одного многочлена имеют противоположные знаки по сравнению с соответствующими коэффициентами другого.

Пусть первый многочлен, который написал Вася, будет $P$. Тогда второй, противоположный ему многочлен, будет равен $-P$. Их сумма будет равна: $P + (-P) = P - P = 0$.

Этот результат (сумма, равная нулю) является постоянной величиной и никак не зависит от того, какой именно многочлен $P$ выбрал Вася. Например:

• Если Вася написал $P = 5x^2 - 3x + 1$, то противоположный многочлен равен $-P = -5x^2 + 3x - 1$. Их сумма: $(5x^2 - 3x + 1) + (-5x^2 + 3x - 1) = 0$.
• Если Вася написал $P = a - b$, то противоположный многочлен равен $-P = -a + b$. Их сумма: $(a - b) + (-a + b) = 0$.

Поскольку результат сложения всегда один и тот же, Петя может знать его, не видя самих многочленов, а зная лишь их ключевое свойство — то, что они противоположны.

Ответ: Да, Петя прав.

Чему равна эта сумма?

Как было показано выше, сумма двух противоположных многочленов по определению всегда равна нулю. Если один многочлен — это $A$, то противоположный ему — это $-A$. Их сумма $A + (-A)$ всегда будет равна 0.

Ответ: 0.