Номер 146, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 146, страница 54.

Условие.

146. Для положительных чисел a, b и с равенство

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

можно проиллюстрировать с помощью вычисления площади прямоугольника двумя способами:

$(a + b) \cdot c$ — площадь прямоугольника ABCD, $a \cdot c$ и $b \cdot c$ — площади прямоугольников ABMN и NMCD соответственно (рис. 8).

Придумайте иллюстрацию равенства

$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

для положительных чисел $a, b, c$ ($a > b$).

Рис. 8

Решение.

Решение 2.

Для иллюстрации равенства $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$ для положительных чисел $a, b, c$ при условии $a > b$ можно воспользоваться геометрическим методом, основанным на вычитании площадей прямоугольников.

Рассмотрим большой прямоугольник, назовем его $PQRS$, со сторонами $PQ = a$ и $PS = c$. Его площадь, $S_{PQRS}$, равна произведению его сторон:

$S_{PQRS} = a \cdot c$

Так как по условию $a > b$, на стороне $PQ$ можно отметить точку $M$ таким образом, чтобы длина отрезка $MQ$ была равна $b$. Тогда длина оставшегося отрезка $PM$ будет равна $a - b$.

Теперь проведем через точку $M$ отрезок $MN$, параллельный стороне $PS$, до пересечения со стороной $SR$ в точке $N$. Этот отрезок разделит большой прямоугольник $PQRS$ на два меньших прямоугольника: $PMSN$ и $MNRQ$.

• Прямоугольник $MNRQ$ имеет стороны $MQ = b$ и $MN = c$. Его площадь $S_{MNRQ}$ равна $b \cdot c$.
• Прямоугольник $PMSN$ имеет стороны $PM = a - b$ и $PS = c$. Его площадь $S_{PMSN}$ равна $(a - b) \cdot c$.

Площадь прямоугольника $PMSN$ можно найти двумя способами.

1. Напрямую, как произведение его сторон: $S_{PMSN} = (a - b) \cdot c$.

2. Как разность площадей: площадь $PMSN$ равна площади всего прямоугольника $PQRS$ минус площадь "отрезанного" прямоугольника $MNRQ$.

$S_{PMSN} = S_{PQRS} - S_{MNRQ}$

Подставив известные значения площадей, получим:

$S_{PMSN} = a \cdot c - b \cdot c$

Поскольку оба выражения описывают площадь одного и того же прямоугольника $PMSN$, мы можем их приравнять:

$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

Таким образом, мы геометрически проиллюстрировали данное равенство, представив площадь прямоугольника со сторонами $(a-b)$ и $c$ как разность площадей большого прямоугольника ($a \times c$) и малого ($b \times c$).

Ответ:

Иллюстрацией равенства $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$ (где $a > b$) служит вычисление площади прямоугольника двумя способами. Для этого строится большой прямоугольник со сторонами $a$ и $c$, его площадь равна $a \cdot c$. От этого прямоугольника "отрезается" меньший прямоугольник с общей стороной $c$ и другой стороной $b$, его площадь равна $b \cdot c$. Оставшаяся фигура также является прямоугольником, его стороны равны $(a - b)$ и $c$, а площадь, соответственно, $(a - b) \cdot c$. С другой стороны, площадь этой оставшейся фигуры можно вычислить как разность площадей большого и "отрезанного" прямоугольников: $a \cdot c - b \cdot c$. Приравнивая два полученных выражения для площади оставшейся фигуры, получаем искомую иллюстрацию тождества: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.