Номер 154, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 154, страница 56.

Условие.

154*. Придумайте иллюстрацию равенства

$(a - b) \cdot (c + d) = a \cdot c - b \cdot c + a \cdot d - b \cdot d$

для положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ $(a > b)$.

Решение.

Решение 2.

Данное равенство можно проиллюстрировать геометрически, используя площади прямоугольников.

Левая часть равенства $(a - b) \cdot (c + d)$ — это формула для вычисления площади прямоугольника со сторонами $(a - b)$ и $(c + d)$.

Чтобы наглядно показать, как эта площадь связана с правой частью равенства, представим её как разность площадей двух других прямоугольников.

1. Построим большой прямоугольник со сторонами $a$ и $(c+d)$. Его площадь $S_1 = a \cdot (c+d)$. Разбив сторону $(c+d)$ на отрезки $c$ и $d$, мы можем представить эту площадь как сумму площадей двух меньших прямоугольников: $S_1 = a \cdot c + a \cdot d$.

2. Поскольку по условию $a > b$, на стороне длиной $a$ можно выделить отрезок длиной $b$. "Вырежем" из большого прямоугольника прямоугольник со сторонами $b$ и $(c+d)$. Его площадь $S_2 = b \cdot (c+d)$. Аналогично, эту площадь можно представить как сумму $S_2 = b \cdot c + b \cdot d$.

3. После вычитания площади $S_2$ из площади $S_1$ останется прямоугольник со сторонами $(a - b)$ и $(c + d)$. Его площадь, с одной стороны, равна $(a - b) \cdot (c + d)$. С другой стороны, она равна разности площадей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 - S_2 = (a \cdot c + a \cdot d) - (b \cdot c + b \cdot d) = a \cdot c + a \cdot d - b \cdot c - b \cdot d$

Приравнивая два выражения для площади оставшейся фигуры, мы получаем геометрическое подтверждение исходного равенства: $(a - b) \cdot (c + d) = a \cdot c - b \cdot c + a \cdot d - b \cdot d$.

Ответ: Равенство можно проиллюстрировать геометрически. Площадь прямоугольника со сторонами $(a - b)$ и $(c + d)$ получается, если из площади большого прямоугольника со сторонами $a$ и $(c + d)$ (равной $ac + ad$) вычесть площадь прямоугольника со сторонами $b$ и $(c + d)$ (равной $bc + bd$). В результате площадь оставшейся фигуры равна $(ac + ad) - (bc + bd) = ac - bc + ad - bd$. Это и доказывает равенство.