Номер 158, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 158, страница 58.

Условие.

158*. Подберите $x_0$ и разложите на множители многочлен:

a) $x^2 + 3x - 4 = $

б) $x^2 + 5x - 14 = $

в) $x^2 - x - 6 = $

г) $x^2 - 2x - 3 = $

Решение.

Решение 2.

a) Чтобы разложить на множители многочлен $x^2 + 3x - 4$, необходимо найти его корни. Согласно заданию, сначала подберем один корень $x_0$. По теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена. В данном случае свободный член равен -4, его делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим значение $x_0 = 1$. Подставим в многочлен: $1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.
Так как значение многочлена равно нулю, то $x_0 = 1$ является его корнем. Следовательно, $(x - 1)$ является одним из множителей.
Для нахождения второго корня воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $x^2 + 3x - 4 = 0$, значит $q = -4$.
Пусть $x_1 = 1$, тогда $1 \cdot x_2 = -4$, откуда $x_2 = -4$.
Разложение квадратного многочлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. Поскольку старший коэффициент $a=1$, получаем:
$x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x - (-4)) = (x - 1)(x + 4)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 4)$.

б) Рассмотрим многочлен $x^2 + 5x - 14$. Делители свободного члена -14: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.
Подберем корень $x_0$. Проверим $x_0 = 2$: $2^2 + 5 \cdot 2 - 14 = 4 + 10 - 14 = 0$.
Значит, $x_0 = 2$ является корнем, а $(x - 2)$ — множителем.
По теореме Виета, произведение корней уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$ равно -14. Пусть $x_1 = 2$.
Тогда $2 \cdot x_2 = -14$, откуда $x_2 = -7$.
Таким образом, разложение на множители:
$x^2 + 5x - 14 = (x - 2)(x - (-7)) = (x - 2)(x + 7)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 7)$.

в) Рассмотрим многочлен $x^2 - x - 6$. Делители свободного члена -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Подберем корень $x_0$. Проверим $x_0 = 3$: $3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$.
Значит, $x_0 = 3$ является корнем, а $(x - 3)$ — множителем.
(Также можно было проверить $x_0 = -2$: $(-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$).
По теореме Виета, сумма корней уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ равна $-(-1) = 1$. Пусть $x_1 = 3$.
Тогда $3 + x_2 = 1$, откуда $x_2 = -2$.
Таким образом, разложение на множители:
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)$.
Ответ: $(x + 2)(x - 3)$.

г) Рассмотрим многочлен $x^2 - 2x - 3$. Делители свободного члена -3: $\pm1, \pm3$.
Подберем корень $x_0$. Проверим $x_0 = -1$: $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.
Значит, $x_0 = -1$ является корнем, а $(x - (-1)) = (x + 1)$ — множителем.
По теореме Виета, сумма корней уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равна $-(-2) = 2$. Пусть $x_1 = -1$.
Тогда $-1 + x_2 = 2$, откуда $x_2 = 3$.
Таким образом, разложение на множители:
$x^2 - 2x - 3 = (x - (-1))(x - 3) = (x + 1)(x - 3)$.
Ответ: $(x + 1)(x - 3)$.