Номер 166, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

5.9. Тождественное равенство целых выражений. Параграф 5. Многочлены. Часть 1 - номер 166, страница 61.

Условие.

166. Докажите тождество:

а) $5 - (5 - (5 - (5 - x))) = x;$

б) $x - (x - (x - (x - 5))) = 5;$

в) $a(b - c) - b(a + c) + c(b + a) = 0;$

$a(b - c) - b(a + c) + c(b + a) = ab - ac - ba - bc + ...$

г) $a(b + c) - b(a + c) - c(a - b) = 0;$

д) $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1;$

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - x + x - 1 = ...$

е) $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4.$

Решение.

Решение 2.

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Будем последовательно раскрывать скобки, начиная с самых внутренних:
$5 - (5 - (5 - (5 - x))) = 5 - (5 - (5 - 5 + x)) = 5 - (5 - x) = 5 - 5 + x = x$.
В результате преобразований левая часть стала равна правой части ($x = x$).
Ответ: тождество $5 - (5 - (5 - (5 - x))) = x$ является верным.

б) Преобразуем левую часть тождества, последовательно раскрывая скобки, начиная с внутренних:
$x - (x - (x - (x - 5))) = x - (x - (x - x + 5)) = x - (x - 5) = x - x + 5 = 5$.
В результате преобразования левая часть стала равна правой части ($5 = 5$).
Ответ: тождество $x - (x - (x - (x - 5))) = 5$ является верным.

в) Раскроем скобки в левой части выражения и приведем подобные слагаемые:
$a(b - c) - b(a + c) + c(b + a) = ab - ac - (ba + bc) + (cb + ca) = ab - ac - ab - bc + bc + ac$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(ab - ab) + (-ac + ac) + (-bc + bc) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Левая часть равна правой части ($0 = 0$).
Ответ: тождество $a(b - c) - b(a + c) + c(b + a) = 0$ является верным.

г) Раскроем скобки в левой части выражения и приведем подобные слагаемые:
$a(b + c) - b(a + c) - c(a - b) = ab + ac - (ba + bc) - (ca - cb) = ab + ac - ab - bc - ac + bc$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(ab - ab) + (ac - ac) + (-bc + bc) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Левая часть равна правой части ($0 = 0$).
Ответ: тождество $a(b + c) - b(a + c) - c(a - b) = 0$ является верным.

д) Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $(m-n)(m+n)=m^2-n^2$:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Левая часть равна правой части ($x^2 - 1 = x^2 - 1$).
Ответ: тождество $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ является верным.

е) Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $(m-n)(m+n)=m^2-n^2$:
$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Левая часть равна правой части ($x^2 - 4 = x^2 - 4$).
Ответ: тождество $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$ является верным.