Номер 171, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.1. Квадрат суммы. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 171, страница 63.

Условие.

171. Докажите тождество

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.$

Для положительных чисел a, b и c проиллюстрируйте доказанное тождество с помощью рисунка 10.

Доказательство.

.......................

.......................

.......................

.......................

Рис. 10

Решение.

Решение 2.

Доказательство тождества

Чтобы доказать тождество $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$, преобразуем его левую часть. Квадрат суммы можно представить как произведение этой суммы на саму себя:

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)$

Теперь раскроем скобки, последовательно умножая каждый член из первой скобки на каждый член из второй скобки:

$a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c) = a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c + b \cdot a + b \cdot b + b \cdot c + c \cdot a + c \cdot b + c \cdot c$

$= a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ab) + (ac + ac) + (bc + bc) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

В результате преобразования левой части тождества мы получили его правую часть. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ доказано путем раскрытия скобок в левой части выражения и приведения подобных слагаемых.

Иллюстрация тождества с помощью рисунка 10

Рассмотрим рисунок 10. На нем изображен большой квадрат. Его сторона состоит из трех отрезков с длинами $a, b$ и $c$. Таким образом, длина стороны всего квадрата равна $(a + b + c)$.

Площадь этого большого квадрата равна квадрату его стороны: $S_{квадрата} = (a + b + c)^2$. Это выражение совпадает с левой частью доказываемого тождества.

С другой стороны, этот квадрат разделен на 9 меньших прямоугольников. Площадь большого квадрата равна сумме площадей этих девяти частей. Найдем площади каждой части:

• Три квадрата, расположенные по диагонали, имеют стороны $a, b$ и $c$. Их площади равны соответственно $a^2, b^2$ и $c^2$.
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Их общая площадь равна $ab + ab = 2ab$.
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $c$. Их общая площадь равна $ac + ac = 2ac$.
• Два прямоугольника со сторонами $b$ и $c$. Их общая площадь равна $bc + bc = 2bc$.

Теперь сложим площади всех девяти частей, чтобы найти общую площадь:

$S_{общая} = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Это выражение совпадает с правой частью доказываемого тождества.

Поскольку площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его частей, мы получаем наглядное геометрическое подтверждение тождества для положительных чисел $a, b$ и $c$.

Ответ: Площадь большого квадрата со стороной $(a+b+c)$ равна сумме площадей девяти составляющих его прямоугольников, которая выражается как $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$, что и иллюстрирует данное тождество.