Номер 177, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 177, страница 65.

Условие.

177. Выделите полный квадрат из многочлена:

$a^2 + 2a + 13 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 + 12 = (a + 1)^2 + 12$

а) $a^2 - 4a + 3 =$

б) $a^2 + 6a + 11 =$

в) $4a^2 - 4a - 1 =$

г) $9a^2 + 6a + 4 =$

д) $9a^2 - 12a + 5 =$

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы выделить полный квадрат из многочлена $a^2 - 4a + 3$, мы используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.В нашем случае, $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $x = a$.Член $-4a$ соответствует $-2xy$. Подставляя $x=a$, получаем $-2ay = -4a$, из чего следует, что $y=2$.Для полного квадрата нам необходим член $y^2$, который равен $2^2=4$.Мы можем переписать исходный многочлен, прибавив и отняв 4, чтобы не изменить его значение:$a^2 - 4a + 3 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 3$.Теперь первые три члена образуют полный квадрат $(a-2)^2$. Выполним оставшееся вычитание:$(a - 2)^2 - 1$.

Ответ: $(a - 2)^2 - 1$

б)

Для выделения полного квадрата из многочлена $a^2 + 6a + 11$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.Здесь $x^2$ соответствует $a^2$, значит $x = a$.Член $6a$ соответствует $2xy$. Подставляя $x=a$, получаем $2ay = 6a$, откуда $y=3$.Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 3^2 = 9$.Перепишем исходное выражение, прибавив и отняв 9:$a^2 + 6a + 11 = (a^2 + 6a + 9) - 9 + 11$.Сгруппировав первые три члена, получаем полный квадрат $(a+3)^2$. Выполняем оставшееся сложение:$(a + 3)^2 + 2$.

Ответ: $(a + 3)^2 + 2$

в)

Рассмотрим многочлен $4a^2 - 4a - 1$. Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.Первый член $4a^2$ является квадратом выражения $2a$, т.е. $x^2 = (2a)^2$, откуда $x = 2a$.Второй член $-4a$ соответствует $-2xy$. Подставляя $x=2a$, получаем $-2(2a)y = -4a$, или $-4ay = -4a$, откуда $y=1$.Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 1^2 = 1$.Прибавим и вычтем 1 в исходном выражении:$4a^2 - 4a - 1 = (4a^2 - 4a + 1) - 1 - 1$.Первые три члена образуют полный квадрат $(2a - 1)^2$. Выполняем оставшееся вычитание:$(2a - 1)^2 - 2$.

Ответ: $(2a - 1)^2 - 2$

г)

Рассмотрим многочлен $9a^2 + 6a + 4$. Используем формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.Первый член $9a^2$ это $(3a)^2$, значит $x=3a$.Второй член $6a$ соответствует $2xy$. Подставляя $x=3a$, получаем $2(3a)y = 6a$, или $6ay = 6a$, откуда $y=1$.Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 1^2 = 1$.Представим число 4 как $1+3$ и перепишем выражение:$9a^2 + 6a + 4 = (9a^2 + 6a + 1) + 3$.Первые три члена образуют полный квадрат $(3a + 1)^2$. Таким образом, выражение принимает вид:$(3a + 1)^2 + 3$.

Ответ: $(3a + 1)^2 + 3$

д)

Рассмотрим многочлен $9a^2 - 12a + 5$. Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.Первый член $9a^2$ равен $(3a)^2$, значит $x=3a$.Второй член $-12a$ соответствует $-2xy$. Подставляя $x=3a$, получаем $-2(3a)y = -12a$, или $-6ay = -12a$, откуда $y=2$.Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 2^2 = 4$.Представим число 5 как $4+1$ и перепишем выражение:$9a^2 - 12a + 5 = (9a^2 - 12a + 4) + 1$.Первые три члена образуют полный квадрат $(3a - 2)^2$. Таким образом, выражение принимает вид:$(3a - 2)^2 + 1$.

Ответ: $(3a - 2)^2 + 1$