Номер 179, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 179, страница 66.

Условие.

179. Укажите, какое наименьшее значение принимает данный многочлен и при каком значении a:

$a^2 + 2a + 7 = (a + 1)^2 + 6$ — наименьшее значение 6 при $a = -1$

а) $a^2 - 4a + 1;$

б) $a^2 + 6a + 1;$

в) $4a^2 - 4a + 3;$

г) $a^2 + a + 1;$

д) $9a^2 - 12a + 7.$

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наименьшее значение каждого многочлена, мы воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод позволяет представить квадратичный трехчлен в виде $A(a-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы. Поскольку коэффициент при $a^2$ во всех случаях положителен, ветви параболы направлены вверх, и ее вершина является точкой минимума. Наименьшее значение многочлена будет равно $k$, и оно достигается при $a = h$.

а) $a^2 - 4a + 1$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат: $a^2 - 4a + 1 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 1 = (a - 2)^2 - 4 + 1 = (a - 2)^2 - 3$.

Квадрат любого выражения $(a - 2)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение достигается, когда $(a - 2)^2 = 0$, что происходит при $a = 2$. В этой точке значение всего многочлена будет минимальным и равным $0 - 3 = -3$.

Ответ: наименьшее значение -3 при $a = 2$.

б) $a^2 + 6a + 1$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат: $a^2 + 6a + 1 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 1 = (a + 3)^2 - 9 + 1 = (a + 3)^2 - 8$.

Выражение $(a + 3)^2$ принимает наименьшее значение 0 при $a = -3$. Следовательно, наименьшее значение всего многочлена равно $0 - 8 = -8$.

Ответ: наименьшее значение -8 при $a = -3$.

в) $4a^2 - 4a + 3$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат. Заметим, что $4a^2 = (2a)^2$, а $-4a = -2 \cdot (2a) \cdot 1$. $4a^2 - 4a + 3 = (4a^2 - 4a + 1) + 2 = (2a - 1)^2 + 2$.

Выражение $(2a - 1)^2$ принимает наименьшее значение 0, когда $2a - 1 = 0$, то есть при $a = \frac{1}{2}$. Наименьшее значение всего многочлена равно $0 + 2 = 2$.

Ответ: наименьшее значение 2 при $a = \frac{1}{2}$.

г) $a^2 + a + 1$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат: $a^2 + a + 1 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

Выражение $(a + \frac{1}{2})^2$ принимает наименьшее значение 0 при $a = -\frac{1}{2}$. Наименьшее значение всего многочлена равно $0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{3}{4}$ при $a = -\frac{1}{2}$.

д) $9a^2 - 12a + 7$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат. Заметим, что $9a^2 = (3a)^2$, а $-12a = -2 \cdot (3a) \cdot 2$. $9a^2 - 12a + 7 = (9a^2 - 12a + 4) + 3 = (3a - 2)^2 + 3$.

Выражение $(3a - 2)^2$ принимает наименьшее значение 0, когда $3a - 2 = 0$, то есть при $a = \frac{2}{3}$. Наименьшее значение всего многочлена равно $0 + 3 = 3$.

Ответ: наименьшее значение 3 при $a = \frac{2}{3}$.