Номер 181, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 181, страница 67.

Условие.

181. При каких значениях x и y обращается в нуль многочлен $25x^2 + 4y^2 - 20x + 20y + 29$?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти значения x и y, при которых многочлен обращается в нуль, необходимо приравнять его к нулю:

$25x^2 + 4y^2 - 20x + 20y + 29 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод выделения полного квадрата. Сгруппируем слагаемые с переменной x и с переменной y:

$(25x^2 - 20x) + (4y^2 + 20y) + 29 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с x. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. У нас есть $25x^2 = (5x)^2$ и $20x = 2 \cdot (5x) \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $2^2 = 4$, но в данном случае мы можем представить свободный член $29$ как сумму $4 + 25$.

Выделим полный квадрат для выражения с y. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. У нас есть $4y^2 = (2y)^2$ и $20y = 2 \cdot (2y) \cdot 5$. Для полного квадрата необходимо слагаемое $5^2 = 25$.

Перепишем исходное уравнение, разбив $29$ на $4$ и $25$:

$(25x^2 - 20x + 4) + (4y^2 + 20y + 25) = 0$

Теперь свернем выражения в скобках в полные квадраты:

$(5x - 2)^2 + (2y + 5)^2 = 0$

Сумма двух квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($\ge 0$).

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 5x - 2 = 0 \\ 2y + 5 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

Из первого уравнения находим x:
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$

Из второго уравнения находим y:
$2y = -5$
$y = -\frac{5}{2}$

Следовательно, многочлен обращается в нуль только при $x = \frac{2}{5}$ и $y = -\frac{5}{2}$.

Ответ: $x = \frac{2}{5}$, $y = -2,5$.