Номер 175, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 175, страница 64.

Условие.

175. Выделите полный квадрат суммы:

$a^2 + 2a + 5 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 + 4 = (a + 1)^2 + 4$

а) $a^2 + 4a - 1 = \dots$

б) $a^2 + 6a + 10 = \dots$

в) $4a^2 + 4a + 3 = \dots$

г) $9a^2 + 12a + 7 = \dots$

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи используется метод выделения полного квадрата, основанный на формуле квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

а) $a^2 + 4a - 1$

В данном выражении $a^2$ соответствует $x^2$, значит $x=a$. Член $4a$ соответствует удвоенному произведению $2xy$, то есть $2 \cdot a \cdot y = 4a$, откуда находим $y=2$. Для получения полного квадрата нам необходим член $y^2 = 2^2 = 4$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и вычтем 4:

$a^2 + 4a - 1 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 - 2^2 - 1 = (a^2 + 4a + 4) - 4 - 1$

Выражение в скобках является полным квадратом $(a+2)^2$. Завершаем преобразование:

$(a+2)^2 - 5$

Ответ: $(a + 2)^2 - 5$

б) $a^2 + 6a + 10$

Здесь $x^2 = a^2$, следовательно $x=a$. Член $6a$ — это $2xy$, значит $2 \cdot a \cdot y = 6a$, откуда $y=3$. Необходимый для полного квадрата член $y^2 = 3^2 = 9$. Представим свободный член 10 в виде суммы $9+1$:

$a^2 + 6a + 10 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 9 + 1 = (a^2 + 6a + 9) + 1$

Сгруппировав первые три члена, получаем полный квадрат:

$(a+3)^2 + 1$

Ответ: $(a + 3)^2 + 1$

в) $4a^2 + 4a + 3$

В этом выражении $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $x=2a$. Член $4a$ — это $2xy$, то есть $2 \cdot (2a) \cdot y = 4a$, откуда $y=1$. Для полного квадрата нужен член $y^2 = 1^2 = 1$. Представим свободный член 3 как сумму $1+2$:

$4a^2 + 4a + 3 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot 1 + 1 + 2 = (4a^2 + 4a + 1) + 2$

Группируем и сворачиваем по формуле:

$(2a+1)^2 + 2$

Ответ: $(2a + 1)^2 + 2$

г) $9a^2 + 12a + 7$

Здесь $x^2 = 9a^2 = (3a)^2$, откуда $x=3a$. Член $12a$ соответствует $2xy$, то есть $2 \cdot (3a) \cdot y = 12a$, откуда $6ay = 12a$ и $y=2$. Необходимый член $y^2 = 2^2 = 4$. Представим свободный член 7 в виде суммы $4+3$:

$9a^2 + 12a + 7 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot 2 + 4 + 3 = (9a^2 + 12a + 4) + 3$

Сгруппировав, получаем искомое выражение:

$(3a+2)^2 + 3$

Ответ: $(3a + 2)^2 + 3$