Номер 182, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 182, страница 67.

Условие.

182. Укажите, какое наименьшее значение принимает данный многочлен и при каких значениях x и y:

a) $x^2 + 4y^2 + 6x - 12y + 10;$

б) $9x^2 + 4y^2 - 12x - 4y + 4.$

Решение.

Решение 2.

a) $x^2 + 4y^2 + 6x - 12y + 10;$

Для нахождения наименьшего значения многочлена преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Этот метод позволяет представить многочлен в виде суммы квадратов и константы.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:

$(x^2 + 6x) + (4y^2 - 12y) + 10$

Теперь выделим полный квадрат для группы с $x$. Формула полного квадрата: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2=9$.

$x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x+3)^2 - 9$.

Далее выделим полный квадрат для группы с $y$. Сначала вынесем коэффициент 4 за скобки.

$4y^2 - 12y = 4(y^2 - 3y)$.

Теперь для выражения в скобках $y^2 - 3y = y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{3}{2}$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

$4(y^2 - 3y) = 4((y^2 - 3y + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4}) = 4((y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) = 4(y - \frac{3}{2})^2 - 4 \cdot \frac{9}{4} = 4(y - \frac{3}{2})^2 - 9$.

Альтернативно, можно записать $4y^2 - 12y = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 3$. Добавим и вычтем $3^2=9$, чтобы получить $(2y-3)^2 - 9$.

Подставим полученные выражения обратно в исходный многочлен:

$((x+3)^2 - 9) + ((2y-3)^2 - 9) + 10 = (x+3)^2 + (2y-3)^2 - 9 - 9 + 10 = (x+3)^2 + (2y-3)^2 - 8$.

Выражение $(x+3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+3)^2 \geq 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x+3=0$, то есть $x=-3$.

Аналогично, выражение $(2y-3)^2$ всегда неотрицательно, $(2y-3)^2 \geq 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $2y-3=0$, то есть $y=\frac{3}{2}$.

Таким образом, наименьшее значение всего многочлена достигается, когда оба квадрата равны нулю. Это значение равно $0 + 0 - 8 = -8$.

Ответ: наименьшее значение равно -8 при $x = -3$ и $y = \frac{3}{2}$.

б) $9x^2 + 4y^2 - 12x - 4y + 4.$

Для нахождения наименьшего значения этого многочлена также применим метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(9x^2 - 12x) + (4y^2 - 4y) + 4$

Выделим полный квадрат для $x$. Заметим, что $9x^2 = (3x)^2$ и $12x = 2 \cdot (3x) \cdot 2$.

$9x^2 - 12x = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 - 2^2 = (3x-2)^2 - 4$.

Выделим полный квадрат для $y$. Заметим, что $4y^2 = (2y)^2$ и $4y = 2 \cdot (2y) \cdot 1$.

$4y^2 - 4y = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2y-1)^2 - 1$.

Подставим преобразованные группы в исходное выражение:

$((3x-2)^2 - 4) + ((2y-1)^2 - 1) + 4 = (3x-2)^2 + (2y-1)^2 - 4 - 1 + 4 = (3x-2)^2 + (2y-1)^2 - 1$.

Наименьшее значение суммы квадратов достигается, когда каждый квадрат равен нулю, так как $(3x-2)^2 \geq 0$ и $(2y-1)^2 \geq 0$.

Приравняем основания степеней к нулю, чтобы найти соответствующие значения $x$ и $y$:

$3x-2=0 \implies 3x=2 \implies x=\frac{2}{3}$.

$2y-1=0 \implies 2y=1 \implies y=\frac{1}{2}$.

При этих значениях $x$ и $y$ многочлен принимает свое наименьшее значение: $0^2 + 0^2 - 1 = -1$.

Ответ: наименьшее значение равно -1 при $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$.