Номер 176, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 176, страница 64.

Условие.

176. Выделите полный квадрат разности:

а) $a^2 - 2a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 + 3 = \dots$

б) $a^2 - 4a - 1 = \dots$

в) $a^2 - 6a + 13 = \dots$

г) $4a^2 - 4a + 5 = \dots$

д) $9a^2 - 12a + 11 = \dots$

Решение.

Решение 2.

Для выделения полного квадрата разности используется формула сокращенного умножения: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Суть метода заключается в том, чтобы в исходном выражении вида $ax^2 + bx + c$ выделить слагаемые, образующие полный квадрат, и сгруппировать их.

а) $a^2 - 2a + 4$

В данном выражении $a^2$ является квадратом переменной $a$. Удвоенное произведение первого члена на второй равно $2a$. Следовательно, $2 \cdot a \cdot y = 2a$, откуда второй член $y = 1$. Квадрат второго члена равен $1^2 = 1$.

Чтобы выделить полный квадрат $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$, представим число 4 в виде суммы $1 + 3$.

$a^2 - 2a + 4 = (a^2 - 2a + 1) + 3 = (a - 1)^2 + 3$

Ответ: $(a - 1)^2 + 3$

б) $a^2 - 4a - 1$

Здесь первый член $x = a$. Удвоенное произведение $2xy = 4a$, значит $2 \cdot a \cdot y = 4a$, откуда второй член $y = 2$. Квадрат второго члена $y^2 = 2^2 = 4$.

Чтобы получить выражение $a^2 - 4a + 4$, нам нужно прибавить 4. Чтобы не изменить исходное выражение, мы также должны и вычесть 4.

$a^2 - 4a - 1 = (a^2 - 4a + 4) - 4 - 1 = (a - 2)^2 - 5$

Ответ: $(a - 2)^2 - 5$

в) $a^2 - 6a + 13$

Первый член $x = a$. Удвоенное произведение $2xy = 6a$, значит $2 \cdot a \cdot y = 6a$, откуда второй член $y = 3$. Квадрат второго члена $y^2 = 3^2 = 9$.

Представим число 13 в виде суммы $9 + 4$, чтобы выделить полный квадрат $(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$.

$a^2 - 6a + 13 = (a^2 - 6a + 9) + 4 = (a - 3)^2 + 4$

Ответ: $(a - 3)^2 + 4$

г) $4a^2 - 4a + 5$

Первый член $x^2 = 4a^2$, значит $x = 2a$. Удвоенное произведение $2xy = 4a$, значит $2 \cdot (2a) \cdot y = 4a$, откуда второй член $y = 1$. Квадрат второго члена $y^2 = 1^2 = 1$.

Представим число 5 в виде суммы $1 + 4$, чтобы выделить полный квадрат $(2a - 1)^2 = 4a^2 - 4a + 1$.

$4a^2 - 4a + 5 = (4a^2 - 4a + 1) + 4 = (2a - 1)^2 + 4$

Ответ: $(2a - 1)^2 + 4$

д) $9a^2 - 12a + 11$

Первый член $x^2 = 9a^2$, значит $x = 3a$. Удвоенное произведение $2xy = 12a$, значит $2 \cdot (3a) \cdot y = 12a$, откуда второй член $y = 2$. Квадрат второго члена $y^2 = 2^2 = 4$.

Представим число 11 в виде суммы $4 + 7$, чтобы выделить полный квадрат $(3a - 2)^2 = 9a^2 - 12a + 4$.

$9a^2 - 12a + 11 = (9a^2 - 12a + 4) + 7 = (3a - 2)^2 + 7$

Ответ: $(3a - 2)^2 + 7$