Номер 190, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 190, страница 69.

Условие.

190*. Придумайте иллюстрацию равенства $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для положительных чисел $a$ и $b$ $(a > b)$.

Решение.

Решение 2.

Для иллюстрации равенства $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ воспользуемся геометрическим методом, представив алгебраические выражения в виде площадей фигур. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа и $a > b$, мы можем считать их длинами отрезков.

Площадь $a^2$ — это площадь квадрата со стороной $a$. Площадь $b^2$ — это площадь квадрата со стороной $b$.

Выражение $a^2 - b^2$ можно представить как площадь большого квадрата со стороной $a$, из которого "вырезали" меньший квадрат со стороной $b$. Предположим, мы вырезали его из одного из углов. В результате получится L-образная фигура, которую в геометрии называют гномоном. Площадь этого гномона в точности равна $S = a^2 - b^2$.

Теперь покажем, что площадь этой же фигуры можно вычислить по-другому, и она будет равна $(a-b)(a+b)$. Для этого мысленно разделим наш гномон на три части. Если мы вырезали квадрат $b \times b$ из угла, то оставшуюся фигуру можно разделить на:

• Один центральный квадрат со стороной $(a-b)$. Его площадь равна $(a-b)^2$.
• Два одинаковых прямоугольника, примыкающих к этому квадрату. Каждый из них будет иметь стороны $b$ и $(a-b)$. Площадь каждого такого прямоугольника равна $b(a-b)$.

Площадь всего гномона равна сумме площадей этих трех частей:$S = (a-b)^2 + b(a-b) + b(a-b)$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:$S = (a-b) \cdot [(a-b) + b + b]$

Упростим выражение в скобках:$S = (a-b) \cdot (a - b + 2b) = (a-b)(a+b)$

Мы получили, что площадь одной и той же геометрической фигуры (гномона) можно выразить двумя способами: как $a^2 - b^2$ и как $(a-b)(a+b)$. Следовательно, эти выражения равны. Таким образом, мы проиллюстрировали, что $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Ответ: Иллюстрация основана на вычислении площади L-образной фигуры (гномона), полученной удалением квадрата со стороной $b$ из квадрата со стороной $a$. С одной стороны, её площадь по определению равна $a^2 - b^2$. С другой стороны, эту фигуру можно разбить на квадрат со стороной $(a-b)$ и два прямоугольника со сторонами $b$ и $(a-b)$. Сумма их площадей, $(a-b)^2 + 2b(a-b)$, после алгебраических преобразований даёт произведение $(a-b)(a+b)$, что и доказывает равенство.