Номер 196, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 196, страница 71.

Условие.

196*. Докажите, что неполный квадрат разности $a^2 - ab + b^2$ принимает положительные значения для любых $a$ и $b$.

Доказательство. Выделим полный квадрат:

$a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2a(0,5b) + (0,5b)^2 + 0,75b^2 = \dots$

Решение.

Решение 2.

Доказательство.

Чтобы доказать, что выражение $a^2 - ab + b^2$ принимает положительные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Следуем началу решения, представленному в задаче:

$a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2a(0,5b) + b^2$

Для формирования полного квадрата разности $(a - 0,5b)^2$ нам необходимо слагаемое $(0,5b)^2 = 0,25b^2$. Представим $b^2$ как сумму $0,25b^2 + 0,75b^2$.

$a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2a(0,5b) + 0,25b^2 + 0,75b^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат разности:

$(a^2 - 2a(0,5b) + 0,25b^2) + 0,75b^2 = (a - 0,5b)^2 + 0,75b^2$

Проанализируем полученное выражение $(a - 0,5b)^2 + 0,75b^2$:

Первое слагаемое, $(a - 0,5b)^2$, является квадратом числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a - 0,5b)^2 \ge 0$ для любых $a$ и $b$.

Второе слагаемое, $0,75b^2$, также всегда неотрицательно, поскольку $b^2 \ge 0$ и коэффициент $0,75$ положителен. Значит, $0,75b^2 \ge 0$ для любого $b$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

$0,75b^2 = 0 \implies b^2 = 0 \implies b = 0$.

$(a - 0,5b)^2 = 0 \implies a - 0,5b = 0$. Подставив $b=0$, получаем $a - 0 = 0 \implies a = 0$.

Таким образом, выражение обращается в ноль только при $a=0$ и $b=0$. Во всех остальных случаях, когда хотя бы одна из переменных не равна нулю, значение выражения будет строго больше нуля, так как хотя бы одно из неотрицательных слагаемых будет положительным.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $a^2 - ab + b^2$ равно $(a - 0,5b)^2 + 0,75b^2$, что является суммой двух неотрицательных слагаемых. Эта сумма равна нулю только при $a=b=0$ и строго положительна для всех остальных значений $a$ и $b$.