Номер 202, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 202, страница 72.

Условие.

202*. Объясните с помощью рисунка 12, почему равенство $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ верно для положительных чисел $a$ и $b$ $(a > b)$.

Перепишем левую часть равенства в виде

$(a - b)a^2 + (a - b)ab + (a - b)b^2$.

Найдём на рисунке прямоугольные параллелепипеды, объёмы которых равны

$(a - b)a^2$, $(a - b)ab$ и $(a - b)b^2$.

Рис. 12

Решение.

Решение 2.

Равенство $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ можно доказать геометрически, интерпретируя обе его части как объёмы тел.

Правая часть, $a^3 - b^3$, представляет собой объём большого куба со стороной $a$, из которого удалили меньший куб со стороной $b$. Эта фигура изображена на рисунке 12.

Левая часть равенства, после раскрытия скобок, принимает вид $(a - b)a^2 + (a - b)ab + (a - b)b^2$. Это можно рассматривать как сумму объёмов трёх прямоугольных параллелепипедов. Покажем, что фигура на рисунке состоит именно из этих трёх частей.

Найдём на рисунке прямоугольные параллелепипеды, объёмы которых равны $(a - b)a^2$, $(a - b)ab$ и $(a - b)b^2$.

Тело на рисунке можно разделить на три прямоугольных параллелепипеда:

1. Первый, самый большой параллелепипед (на рисунке он находится слева). Его измерения, согласно обозначениям на рисунке, равны $a$, $a$ и $(a-b)$. Его объём $V_1 = a \cdot a \cdot (a-b) = a^2(a-b)$.

2. Второй параллелепипед (на рисунке он расположен справа от первого, спереди). Его измерения равны $a$, $b$ и $(a-b)$. Его объём $V_2 = a \cdot b \cdot (a-b) = ab(a-b)$.

3. Третий параллелепипед (расположен сзади второго, под вырезанным кубом). Его измерения равны $b$, $b$ и $(a-b)$. Его объём $V_3 = b \cdot b \cdot (a-b) = b^2(a-b)$.

Сложив объёмы этих трёх параллелепипедов, мы получим общий объём фигуры:

$V = V_1 + V_2 + V_3 = a^2(a-b) + ab(a-b) + b^2(a-b)$

Вынеся общий множитель $(a-b)$ за скобки, получим:

$V = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Таким образом, с одной стороны, объём фигуры равен $a^3 - b^3$ (как объём большого куба минус объём малого), а с другой стороны, он равен сумме объёмов трёх составляющих её параллелепипедов, то есть $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Это геометрически доказывает справедливость исходного равенства.

Ответ: Геометрически равенство $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ доказывается тем, что объём фигуры, полученной вырезанием из куба со стороной $a$ куба со стороной $b$ (объём $a^3 - b^3$), можно представить как сумму объёмов трёх прямоугольных параллелепипедов. На рисунке 12 показано, что эти параллелепипеды имеют объёмы $a^2(a-b)$, $ab(a-b)$ и $b^2(a-b)$. Сумма этих объёмов равна $(a-b)(a^2+ab+b^2)$, что и доказывает тождество.