Номер 208, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.7. Куб суммы. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 208, страница 74.

Условие.

208*. Объясните с помощью рисунка 13, почему равенство

$(a + b)^3$

$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

верно для положительных чисел a и b.

.......................

.......................

.......................

.......................

.......................

Рис. 13

Решение.

Решение 2.

Равенство $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ можно объяснить с помощью геометрической интерпретации, представленной на рисунке 13. На рисунке изображен большой куб, ребро которого имеет длину $(a + b)$, поскольку оно состоит из двух отрезков длиной $a$ и $b$.

Объем этого большого куба вычисляется как длина ребра в третьей степени, то есть $V_{\text{общий}} = (a + b)^3$.

С другой стороны, этот куб можно представить как сумму объемов составляющих его меньших многогранников. Рисунок показывает, что куб состоит из следующих частей:

- одного куба с ребром $a$, объем которого равен $a^3$;

- трех прямоугольных параллелепипедов с ребрами $a, a, b$, суммарный объем которых равен $3 \times (a \cdot a \cdot b) = 3a^2b$;

- трех прямоугольных параллелепипедов с ребрами $a, b, b$, суммарный объем которых равен $3 \times (a \cdot b \cdot b) = 3ab^2$;

- одного куба с ребром $b$, объем которого равен $b^3$.

Полный объем большого куба равен сумме объемов этих частей: $V_{\text{общий}} = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Так как оба выражения, $(a + b)^3$ и $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, представляют объем одного и того же куба, они должны быть равны. Это доказывает справедливость равенства для любых положительных чисел $a$ и $b$, которые могут представлять длины отрезков.

Ответ: Равенство является верным, потому что оно представляет двумя разными способами объем одного и того же тела. Левая часть, $(a+b)^3$, — это объем куба с ребром $(a+b)$. Правая часть, $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, — это сумма объемов частей, на которые этот куб разбит на рисунке: одного куба с ребром $a$ (объем $a^3$), трех параллелепипедов с ребрами $a, a, b$ (суммарный объем $3a^2b$), трех параллелепипедов с ребрами $a, b, b$ (суммарный объем $3ab^2$) и одного куба с ребром $b$ (объем $b^3$).